力学的趣味：瓶子在水中的姿态

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因为述说纸团沉浮，2017年12月9日拍了上面照片用于《力学与实践》的目录：纸团吸水展开之后就像倒扣在水中的瓶子，借着内部受压空气的排水而得以不沉。当时就觉得瓶子姿态与瓶中水量的关系有趣，又让家人去超市买了两瓶山楂罐头，用那细长的玻璃瓶作些试验。

不过，2018年寒假写作时竟然没有找到圆柱浮体平衡姿态的解答，只得先做34年前朱照宣老师讲义上的这道习题。最后确定了圆柱浮体姿态的14种情形，整理成文刊于2018年第6期的《力学与实践》。

瓶子形状实在复杂，只能讨论有底圆筒，且设定底部和侧壁的厚度相同。圆筒外径R 为单位1，系统参数有筒高、壁厚、筒内水深以及筒体比重4个，状态参数只有轴线倾角。圆筒向上或倒扣时，基于内外水面是否到达筒底而计算8种情形重心和浮心的位置，两者距离达到极值就是平衡姿态，而达到极小值才能稳定。物理概念简单，而数学计算繁杂——真是繁杂啊。

推出公式后，计算直圆柱玻璃瓶（比重γ 为2.50，壁厚δ 为R/10）的高度L 和瓶内水深h 对其姿态的影响，绘出曲线图，又拍了几张照片，写成文章（《有底圆筒的浮态研究》）送到《力学与实践》。花了整整两个月的功夫呢。现在读着刊出的文章，真想不出自己何以有如此的耐心。

向上的空瓶随其高度L 变化有5种状态：沉没、重心在下和在上的竖直平衡、倾斜平衡、瓶口进水，在图中用4个斜方符号在横轴标出；瓶高在红点与右侧实心斜方间较为特殊：空瓶可直立平衡，瓶内添水则水引起重心偏移而倾斜。瓶口倾斜进水时，外侧水面始终在瓶底之上，而瓶高小于4.623后瓶内水面达到瓶底。

直圆柱玻璃瓶内部盛水或倒扣姿态可以轴线竖直姿态而稳定平衡，水量减少转为倾斜姿态——略有减少就会使倾角极大增加。玻璃瓶以倒扣姿态倾斜平衡时，瓶内空气受太阳照射而体积膨胀，引起瓶内水量减少，也就失稳沉没；而倾斜向上浮在水面时，受扰之后若瓶口能少许进水则可能恢复稳定的直立姿态。沉浮总有因缘，只是难以预先知道。

审稿老师提了许多意见，最后一条是“缺少趣味性”。当时觉得投稿刊物的文章似乎不宜多说题外的话语，只得如此答复：结语解说了“岳飞逃难”；文中也添加了“沉浮总有因缘，只是难以预先知道”之类的话语。当然，拙稿只是一道大型习题，说明实际力学问题的复杂性，相关结果可在理论力学的课堂介绍或作为例题写入教材。

“岳飞逃难”内容因编辑老师的建议而删除，略作补充贴在下面。再写两段或许有些趣味的话语——当然还得您自己做些诠释呢，而力学证据则烦请参阅拙稿中计算曲线。

《宋史·岳飞传》有“学射于周同，尽其术，能左右射。同死，朔望设祭于其冢。父义之”，表明其父岳和并没有如《说岳全传》所记随水而逝；而“生未弥月，河决内黄，水暴至，母姚抱飞坐瓮中，冲涛及岸得免，人异之”也不可信。大缸直径和高度都在1m尺度，壁厚或许有5cm，比重约为2.5，与L=2、δ=0.10的玻璃瓶相似且因重心较高，想来难以承载岳飞母子风浪之中稳定地漂浮。力学可以用于解读历史呢。《说岳全传》“陈抟老祖将那拐杖在缸内画上灵符，口中默默念咒，演法端正”，作者想来也是不信啊。

岳飞 (1103~1142) 出生前后，因长期行水而泥沙淤积，黄河在华北平原决溢频繁；南宋建炎二年（公元1128年），东京留守司杜充为阻止金兵南下，在滑州李故渡决堤使黄河东流而入黄海，其东北流向渤海的数千年历史结束。此后在豫东、鲁西南地区平地漫流而河道极不稳定，直至金明昌5年（公元1194年）河决阳武而东，黄河夺淮终成定局。岳飞出生时安阳附近的河流地貌与现在的情形当然差别较大。

玻璃瓶口向上需要内部适当盛水，空瓶不可能浮在水面。水多则瓶口较低而稳定，但水过多则会沉没；若是水少则瓶口较高，而过少则会倾斜，稍有扰动将进水，或沉没，或恢复直立但瓶口高度降低，结果难以预料呢。

玻璃瓶倒扣水中是非常的情形，得借住内部的空气才能浮在水面；当然，瓶内需要有些水方可留住空气。水多而气少则瓶底较低而直立稳定，水过多将下沉到环境的最底部，但仍能保持直立姿态且那点儿空气总能留着，只是其体积因深部压力增高而减少；若是水少而气多则瓶底较高，若水过少即空气过多则会倾斜，稍有扰动瓶子将翻倒而空气全部溢出，沉没只是迟早的事情啊。

来源：尤明庆科学网博客，作者：尤明庆 河南理工大学教授。