平面应变与平面应力的区别是什么？

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工程结构分析中，当结构的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和力学抽象化处理，就可归结为所谓的平面问题。这类问题的特点在于：一切现象可看作是在一个平面内发生的，因而在数学上属于二维问题。当一个三维问题可简化为二维平面问题时，将使我们的计算大大简化。

平面问题分为两类：平面应变问题和平面应力问题。平面应变问题也称平面位移问题，下面分别从多个方面对比区分这两类问题。

实例展示

下面通过两个实例来介绍平面问题在实际工程中的应用，并将二维计算结果与三维计算结果进行对比。

1. 平面应变问题

分析如图所示，重力坝在自重和蓄水压力作用下的结构响应。坝长为50m，坝体截面尺寸如下图所示，坝体材料弹性模量为30GPa，泊松比0.3，密度为2000Kg/m3，约束坝体底部和两侧端面，选取坝体中间截面与平面应变解对比。

下图为计算得到的坝体截面位移解和Mises等效应力解，左侧为三维计算结果，右侧为平面应变计算结果。由云图可以看出，两种计算结果很接近。

为进一步对比位移解、应力解和应变解的差异，现将计算得到的各位移分量、应力分量和应变分量汇总如下表所示。由相对误差值可以看出，平面应变解与三维解非常接近，最大误差均为超过1%，而由三维解得到的z方向相关解与面内其它解比较很小，可完全忽略。故平面应变解完全能够反映真实的三维解。

2. 平面应力问题

分析如图所示，圆盘在边缘均布压力作用下的结构响应。圆盘半径为20mm，厚度为1mm，边缘施加10MPa的均布压强，圆盘材料弹性模量为210GPa，泊松比为0.3。

下图为计算得到的盘面位移解和Mises等效应力解，左侧为三维计算结果，右侧为平面应力计算结果。由云图可以看出，两种计算结果很接近。

为进一步对比位移解、应力解和应变解的差异，现将计算得到的各位移分量、应力分量和应变分量汇总如下表所示。由相对误差值可以看出，平面应力解与三维解几乎一致，而由三维解得到的z方向相关解与面内其它解比较很小，可完全忽略。故平面应力解也能完全反映真实的三维解。

总结与说明

从几何、受力、应力、应变和位移等方面，对比了平面应变问题和平面应力问题的本质特征，并通过具体算例验证了用平面问题简化计算的可靠性。

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