弹性力学中的五个基本假定

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在弹性力学的问题里，通常是已知物体的形状和大小（即已知物体的边界）、物体的弹性常数、物体所受的体力、物体边界上所受的约束情况或面力，而应力分量、形变分量和位移分量则是需要求解的未知量。

如何由这些已知量求出未知量，弹性力学的研究方法是：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上，还要建立边界条件。即在给定面力的边界上，根据边界上的微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束与位移的关系，建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下从平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

对任何学科进行研究时，总不可能将所有的影响因素都考虑在内，否则该问题将会变成非常复杂而无法求解。因此，在任何学科中总是首先对各种影响因素进行分析，既必须考虑那些主要的影响因素，又必须略去那些影响很小的因素。然后抽象地概括出这些主要因素，建立一个所谓的“物理模型”，并对该模型进行研究。当然，研究的结果将可以用于任何符合该物理模型的实际物体。在弹性力学问题中，通过对主要影响因素的分析，归结为以下的几个弹性力学基本假定。首先，是对物体的材料性质作如下的四个基本假定：

一、连续性
假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样物体内的一些物理量，例如应力、形变、位移等才可能是连续的，因而才可能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。实际上一切物体都是由微粒组成的，严格来说都不符合上述假定。但是可以想见，只要微粒的尺寸以及相邻微粒之间的距离都比物体的尺寸小很多，那么关于物体连续性的假定就不会引起显著的误差。

二、完全弹性
假定物体是完全弹性的。所谓完全弹性，指的是“物体在引起形变的外力被除去以后，能完全恢复原形而没有任何剩余形变”。这样的物体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。由材料力学已知：塑性材料的物体，在应力未达到屈服极限以前，是近似的完全弹性体；脆性材料的物体，在应力未超过比例极限以前，也是近似的完全弹性体。在一般的弹性力学中，完全弹性的这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的。因此，这种线性的完全弹性体中应力和形变之间服从胡克定律，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

三、均匀性
假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性才不随位置坐标而变。如果物体是由两种或两种以上的材料组成的，例如混凝土，那么也只要每一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内均匀分布，这个物体就可以当作是均匀的。

四、各向同性
假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同。这样物体的弹性常数才不随方向而变。显然，由木材和竹材做成的构件都不能当做各向同性体。至于由钢材做成的构件，虽然它含有各向异性的晶体，但由于晶体很微小，而且是随机排列的，所以钢材构件的弹性（包含无数多微小晶体随机排列时的统观弹性），大致是各向相同的。

凡是符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。此外，还对物体的变形状态作如下的小变形假定：

五、位移和形变是微小的
这就是说，假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便地用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不致引起显著的误差；并且在考察物体的形变与位移的关系时，转角和应变的二次和高次幂或乘积相对于其本身都可以忽略不计。例如：对于微小的转角α，有cosα=1-1/2α2+···≈1，sinα=α-1/3!α3+···≈α，tanα=α+1/3α3+···≈α；对于微小的正应变εx，有1/1+ε=1-εx+ε2x-ε3x+···≈1-εx，等等。这些弹性力学里的几何方程都简化为线性方程。

在上述的这些假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以叠加原理。

来源：简书用户海中沙与林丸子分享。