COLA信号的希尔伯特变换

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正弦扫描振动响应数据的分析处理，一直以来都依赖于振动控制仪和有COLA (Constant Output Level Adaptor) 通道的数据采集系统。对于振动控制仪来说，所发送实时频率及输出点数是已知的，可进行理想的实时跟踪滤波分析，带有COLA 通道的数据采集系统可根据振动控制仪输出的等幅COLA信号，实时辨识跟踪频率并获取信号幅值。

而目前国内振动控制仪主要依赖进口且价格昂贵，一般的单位（尤其航天单位）为了关注产品的动力学特性，有大量的响应点要求，因此需要大量的控制仪通道，这样会造成成本过高。因此，对于响应点信号利用常规的数据采集系统进行的数据采集，然后进行编程后处理得到相应的试验曲线，常规的数据采集系统的成本要比振动控制仪低得多，这种离线采集和处理的方法对于节约成本具有重要的意义。

该方法的难点在于数据的后处理方法，如何准确和迅速的得到试验曲线是研究的重点，而本文COLA信号的希尔伯特变换是研究这种方法的一个基础。

1、基本理论

对于一个实信号，其希尔伯特变换为：

式中，* 表示卷积运算。与卷积的概念进行对比，可以发现，上面的Hilbert 变换的表达式实际上就是将原始信号和一个信号做卷积的结果。这个用来卷积的信号就是

因此，Hilbert 变换可以看成是将原始信号通过一个滤波器，或者一个系统，这个系统的冲击响应为h(t )。

对h(t ) 做傅里叶变换，可以得到：

或者写成：

sgn() 是符号函数。从频谱上来看，这个滤波器将我们的原始信号的正频率部分乘以-j，也就是说，保持幅度不变的条件下，将相位移动了-pi/2；而对于负频率成分，移动了pi/2。Hilbert 本质上也是转向器，对应频域变换为：即余弦信号的Hilbert 变换时正弦信号，又有：即信号两次Hilbert 变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

2、连续信号的包络、瞬时相位和瞬时频率

在工程中常可碰到如下一种窄带信号：

a(t ) 是描述振荡振幅变化的，当a(t ) 变化缓慢时，a(t ) 起到快速振荡函数cos(2πf0t+φ(t )) 的包络作用，因此，a(t ) 称为窄带信号的包络。

在余弦振荡函数cos(2πf0t+φ(t )) 中，我们令

由于θ(t ) 反映了瞬时变化的相位特点，因此，我们称θ(t ) 为窄带信号x(t ) 的瞬时相位，当φ(t ) 变化缓慢或为常数时，μ(t )=2πf0，这表明，μ(t ) 反映了信号的频率特点，因此我们称μ(t ) 为窄带信号x(t ) 的瞬时频率。

根据上文，对窄带信号x(t ) 做希尔伯特变换，如下式

由窄带信号公式和上式，知

由上可知，窄带信号的包络、瞬时相位和瞬时频率，可以通过窄带信号的希尔伯特变换表示出来。

3、COLA信号的和振动响应点希尔伯特变换

Hilbert 变换可用于分析瞬时频率，但此方法非常依赖于信号品质，当信号有一定干扰时，瞬时频率的分析精度较差，而正弦扫描振动响应信号中，恰恰包含了众多干扰信号，直接对响应信号做Hilbert 变换求瞬时频率是不适合的。振动控制仪输出的驱动信号，其信噪比高，干扰极少，非常适合进行瞬时频率分析。

振动台进行4-100Hz正弦扫频试验，下图1为振动控制仪输出的幅值为1V的cola信号。

图1 COLA信号时域信号

现对该COLA信号进行希尔伯特变换，COLA信号信噪比好，在每个时刻频率成分较单一，使用Hilbert 变换可求得精确的瞬时频率和包络（幅值）。COLA信号时间历程及其包络、时间-频率曲线和频谱曲线如图2所示。

图2 COLA信号Hilbert变换

响应信号包含频率成分丰富，其包络信号较复杂，无法真实反映正弦扫描试验实际驱动频率下的幅值。且瞬时频率误差较大，仅仅趋势项能反映频率变化趋势，无法得出频谱曲线，下图3为某响应点时域曲线，图4为对时域信号的Hilbert 变换曲线。

图3 响应点信号时域信号

图4 响应点信号Hilbert变换

来源：声振测试微信公众号，作者：于长帅。

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