声振论坛

 找回密码
 我要加入

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 2635|回复: 0

[综合] 流固耦合问题及其无量纲化过程

[复制链接]
发表于 2022-1-4 13:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有账号?我要加入

x
自然界的流固耦合现象  
自然界很多现象是流体和固体的共同作用。例如心脏的泵血过程,心肌收缩使得心房压力升高,使得血流推动瓣膜开合,心肌舒张期间血液流入心房,对心房内壁的压力使得心房体积增大。这个动态的相互作用过程每一秒都在发生。除此之外自然界还有大量的流固耦合的现象。
1.png

什么是流固耦合问题
2.png
当流体绕过圆柱流动,圆柱被处理为边界条件,这是纯流体力学问题。
3.png
当圆柱受压力而变形,压力被处理为边界条件,这是纯固体力学问题。
4.png
当固体产生的大变形会影响流体流动,流体流动产生的压力动态变化又反过来影响固体变形时,也就是说当它们两者之间的相互作用无法被单独研究时,这就是流固耦合问题。

无量纲化的好处
每个物理量的单位都是长度,质量和时间的组合:
5.png
例如重力加速度g,其量纲可表示为(1,0,-2)
6.png
无量纲化就是让物理量的量纲表示为(0,0,0)
7.png
方法就是用除法,使得分号上下都是同样的量纲,这样的出来的新的量就是一个无量纲量,例如雷诺数:
8.png
为什么要无量纲化?首先无量纲数可以对问题进行分类,分类研究可以使得复杂的问题简化,例如上图利用雷诺数把流动分为蠕变流和分离流动,其次无量纲化还可以使得研究问题的物理量变少。根据白金汉定理:一个具有N个物理量的方程,无量纲化后刚好有(不多不少)P=N-R个物理量,R是量纲矩阵的秩,最多减少3个物理量。
9.png
例如:对于圆柱绕流问题,初始物理量为阻力D,来流速度U,流体密度rho,流体粘度mu和圆柱尺寸L,总共五个,它的量纲矩阵的秩为3
10.png
因此无量纲化之后所需要研究的量为5-3=2个
11.png

流体和固体物理量分别进行无量纲化  
流体问题和固体问题分别有各自的物理量,如下图。对于纯流体问题,物理量有(图中从上到下顺序):坐标,时间,速度场,粘度,特征尺寸,重力,密度,特征速度8个量;对于纯固体问题,有(图中从上到下顺序)坐标,时间,位移场,刚度,特征尺寸,重力,密度,特征位移8个量。我们刚学到,通过无量纲化,这些量可以减少,可分别减少到5个量。
12.png
我们开始分别对流体和固体进行独立的无量纲化的过程:

对于流体我们剔除重力加速度g,特征尺度L和粘度mu三个独立变量,并且把他们融合到其他量中,原始8参数变为5个:
13.png
注意:无量纲化的过程是任意的,只要无量纲化减少的量需要刚好为量纲矩阵的秩R,这里是3个。因此剔除选g,L,mu,也可以剔除rho,t,U,没有对错,只有如何选择更高效,更有助于解决问题。

而这里的无量纲化方式,使得(顺序为公式参数从左到右)第一个量为无量纲速度,第二个为无量纲坐标,第三个为无量纲时间,用流体流过物体的特征时间无量纲化。
14.png
第四个为雷诺数Re,表征速度大小,第五个为弗劳德数Fr,表征惯性力和重力的影响大小。

对于固体,我们剔除刚度E,特征尺度L和重力加速度g三个独立变量,并且把他们融合到其他量中,原始8参数变为5个:
15.png
而这里的无量纲化方式,使得(顺序为公式参数从左到右)第一个为无量纲位移,第二个为无量纲坐标,第三个为无量纲时间,用特征时间无量纲化,而特征时间是特征长度与弹性波速度c的比值,因此这个特征时间是弹性波穿过固体的时间。
16.png
第四个为位移数(displacement number)D,表征是否为大变形,第五个为弹力数G(elasto gravity number),表征重力引起的变形的影响有多大。至此我们分别对流体和固体问题进行了无量纲化。

流体和固体物理量一起进行无量纲化  
流固耦合问题需要统一的一组方程求解,因此我们统一考虑这16个物理量。重新观察发现,它们之间的物理量有很多重复的,16个物理量可先进行简化,再进行无量纲化。两者重复的量有,坐标,时间,特征长度,重力,这就减少了4个量,而速度场和位移场是有一定关系的,速度是位移对时间的导数,因此当我们比较关系流体时,可暂时不显式考虑固体的位移场,而用统一的速度场。这样物理量减少了5个,为11个。而我们知道通过无量纲化,还可以再减少3个(回顾:这取决于量纲矩阵的秩R,这里R=3),最后有8个物理量求解流固耦合问题。
17.png
接下来进行无量纲化,

因为我们之前已经分别对固体和流体进行了无量纲化,接下来我们先直接把之前流体的5个无量纲参数抄写下来,然后固体的5个无量纲参数只剩下最后2个量纲可以抄写,因为位移场不考虑了,坐标和时间用流体的无量纲参数了,因此我们得到了10个无量纲数。
18.png
但是,根据白金汉定理,必须刚好有11个无量纲数,因此我们先加上一个待定无量纲数,它应该是独立的量的耦合,暂时叫它A。
19.png
那么这个量应该是什么呢?

我们应该考虑固体和流体耦合的某个量的耦合,不然这和分别求解没什么区别。通过直觉去猜测,流体跟固体的密度之比应该是个重要的参数,因为人在天上飞,跟在水里游的感觉是明显不一样的。我们称它为质量数M,在机械硬盘工作时,空气对针头的影响可以用M表征,量级很小,可以忽略;而对于海豚的运动,其和水密度相当,量级为O(1)。
20.png
还可能的数有约化速度,表征两种动力学的关联
21.png
和柯西数,表征流体冲击力对固体产生的变形
22.png
对于无量纲数的选取,要根据具体的问题来选择,没有错误的选择,但有更高效,更能反应物理规律的选择。

至此我们完成了对流固耦合问题的无量纲分析,下一期我们开始结合物理方程,讨论边界条件,对问题进行实际求解的尝试。
23.png
参考:Fundamentals of Fluid-Solid Interactions, école Polytechnique.

回复
分享到:

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 我要加入

本版积分规则

QQ|小黑屋|Archiver|手机版|联系我们|声振论坛

GMT+8, 2024-12-26 04:55 , Processed in 0.080310 second(s), 21 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表