窗函数的选择和应用

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结合测试过程中的实际情况，今天聊一聊窗函数的选择和应用。

01 频谱能量泄露    

数字信号处理的主要数学工具是傅里叶变换，而傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。连续的正弦波得到如图所示单一谱线。

可实际测试时，我们看到的是这样：

这是因为采用离散傅立叶变换 (DFT)——常常是增强的快速傅立叶变换算法 (FFT)——处理一个正弦采样信号时假定了时间信号是周期无限的。但在分析时，我们往往只截取其中的一部分，如果正弦信号在采样时截取的不是整周期采样，其结果由于边缘的不确定性，使得能量从本来的谱线处显著地泄漏至相邻频域。

泄漏是伴随数字信号最严重的问题之一。泄漏可通过采取不同的激励技术和提高频率分辨率来削减，也可采用不同的截取函数对信号进行截断来缩小。截断函数称为窗函数，简称为窗。

02 加窗是为了减少泄露  

在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号，让两侧旁瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。但是加窗本身也会增加误差，加不同的窗函数导致能量的不同分配，因此窗的选择依赖于输入信号的类型，以及测试人员感兴趣的问题属于哪个方面。

03 窗函数的特性   

窗函数有多种，它们中的多数可视为多个正弦分量的组合做幅值调制，可视为起到一种滤波器的作用，各种窗函数的性质可通过考察其在频域上滤波特性做出比较：

各种窗的差别主要集中于主瓣的能量和两侧所有旁瓣的能量之比例。一般来讲，有效噪声频带越宽，频率分辨率越差，越难以分清有相同幅值的邻近频率，选择性（分辨出强分量频率邻近的弱分量的能力）的提高与旁瓣衰减率有关，通常有效噪声带宽窄的窗，其旁瓣衰减率较低。因此，窗的选择在二者之间权衡，其表如下：

举例：矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度高，幅值识别精度较低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度低，但幅值识别精度较高。

04 窗函数的主要类型

矩形窗 (Rectangular)
矩形窗属于时间变量的零次幂窗。矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。矩形窗可用于泄漏不成问题的情况下，常用于整周期正弦波、脉冲、瞬态信号等等，其采样周期的起端和末端的函数值在自然属性就等于零。

注意：对于采样周期与信号周期同步的情况，采用矩形窗优于任何其他窗函数；不能确定信号类型的情况下，矩形窗总是可取的方案之一。

汉窗 (Hann)
汉窗又称升余弦窗、汉宁窗，汉窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉窗优于矩形窗。但汉窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。汉窗是对随机信号做一般目地分析时最常采用的窗，但不适用于小信号的精确测量。

哈明窗 (Hamming)
又称海明窗，哈明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗。哈明窗与汉窗都是余弦窗，只是加权系数不同。哈明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，哈明窗比汉窗衰减速度慢。哈明窗与汉窗都是很有用的窗函数，最适用动态范围为50dB。

平顶窗 (Flat Top)
具有比较高的幅值精度，误差大约为1% (0.1dB)。然而其频率分辨率是比较低的，可用于纯音（单频）信号的精确幅值测量，特别适用于测量系统的标定。

三角窗 (Trangle)
三角窗亦称费杰 (Fejer) 窗，是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则选用旁瓣幅度小的三角窗。

布莱克曼窗 (Blackman)
布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度较低，但幅值识别精度高，适合检测强信号中的弱分量。

力窗 (Force)
力窗常用于锤击法模态测试情况下瞬态信号分析，可削减激励通道信号的杂散噪声。

指数窗 (Exponential)
也用于瞬态信号分析，目的在于使信号在采样周期的终点衰减到零，适合锤击法模态测试的输出通道。

其他窗
除了以上几种常用窗函数以外，尚有多种窗函数，如高斯窗 (Gaussia)、切比雪夫窗 (Chebyshev)、帕仁窗 (Parzen)、凯塞窗 (kaiser) 等。

05 测试过程中窗函数的应用

来源：东华测试微信公众号（ID：dhtest）

TestGuru

平顶窗的旁瓣衰减不是0，应为-20dB/Decade （-6dB/Octave），如下图所示。

Dolph-ChebyShev窗的旁瓣衰减才是0，如下图所示 (Dolph-ChebyShev 100)。