“可压缩流”为什么要比“不可压缩流”复杂？

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在军工领域（空气动力学以及旋转机械中），可压缩流非常重要。然而可压缩流由于震波（shock wave）的存在其计算是十分复杂的。在震波的附近存在着尖锐的，流体变量（压力、温度、密度）的不连续变动。

震波处密度不连续越阶

历史上来说，可压缩流的计算方法是一个步进的过程。在1970年左右，当时只是求解线性势流问题。随着计算能力的增加，后来逐渐的开展了非线性势流的研究。在1980年代左右，逐步开展了欧拉方法的求解。随后，附加粘性的湍流封闭方程逐渐进入人们的视野。

许多专门用于可压缩流体求解的方法顺势而生。然而这些方法如果用于求解不可压缩流却效率非常低下。原因主要分为俩点：

1.在不可压缩流中，我们的连续性方程不包含时间项。然而在可压缩流中，连续性方程包含了时间项。这导致我们的偏微分方程变得非常刚性。这使得我们必须使用非常小的时间步或者隐形离散方法。这样使得可压缩流求解器在计算不可压缩流的时候效率低下。

2.声速以固定的速度进行传播。然而，某些流场信息却是由流速来传递的。这样在可压缩流动中就存在了两个速度。一个为声速、一个为流场的流速。其中最大的速度决定了求解中的时间步长。问题在于，如果流场的流速低于声速，我们依然需要使用和声速相对应的非常小的时间步长，这样使得可压缩流求解器在计算不可压缩流的时候效率低下。

正如前述，可压缩流其中震波的特点为流场变量的不连续变化。这个不连续在无粘流中是非常尖锐的，当具有一定粘度的时候，这个不连续的越阶存在一定的厚度。

另外一个问题是，在航天飞行器以及螺旋桨周围的流体运动中。我们可以把流场看作为稳态。然而，由于气速非常高，我们在使用显性时间格式的时候，需要使用一个非常小的时间步长。这也是效率非常低下的一个原因。

当然了，可以使用隐形格式，然而这些偏微分方程组的数学特性使得一个有效的隐形格式非常难以应用。

另外，在处理不连续的时候，还会产生一些其他的问题。在数值求解中，如果我们打算捕获流场内某个剧烈变动的区域，离散方法可能会产生震荡，在使用中心格式的时候尤其如此。震波是流场不连续性的一个明显例子，这对数值格式是一个巨大的挑战。目前已经证实没有一个高于一阶的格式可以保证震波附近流场变量的单调性越阶。然而，一阶格式的精度却难以恭维。

这使得当今许多方法在震波其他区域使用二阶精度的中心差分，在震波附近使用迎风格式。