工程湍流模型概述

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01、流动的分类
将有色染料注入管道中，观察流动情况。用三种方式简单概括一下流动的类型。

  · 层流：低雷诺数，染料笔直沿着管道中心移动。

  · 过渡流：雷诺数增加，层流变得不稳定，染料开始波动。

  · 湍流：更到的雷诺数，染料运动变得无规则。

02、湍流运动的特征
  · 不稳定、不规则（非周期）运动，其中运输量（质量、动量、标量物质）在时间和空间上波动，这些波动是导致运输量混合增强的原因。

  · 瞬时波动在空间和时间上都是随机的（不可预测的、不规则的），波动的统计平均导致了可统计的、与湍流相关的输运机制。

  · 包含范围广泛的涡流尺寸有：典型的可识别的涡流模式，大涡流“携带”小涡流，大涡流的行为是不同的（与上流运动相关），小涡流的行为在自然界中更为普遍。

03、湍流的特征
湍流的影响是方方面面的，其影响有利也有弊，体现在：

  · 增强了混合和夹带的效果；

  · 将动能转化成热量；

  · 增加摩擦损失；

  · 增加传热；

  · 产生噪音；

  · 在压力梯度下延迟流量分离等。

04、能量串级

如果上图所示，表示涡流尺寸的倒数，纵坐标表示能量。如果对整个涡流尺寸区间的能量进行求和，就能得到这个点流动的湍流动能，这就是所谓的能量串级。

湍流涡流是创建在最大尺度涡流的基础上，湍流涡旋从平均流动中提取能量，因此必须要为流动提供能量，比如：通过压缩机或泵获得管流。随后，能量从平均流动中提取，扩散到大尺度涡流，这些涡流开始相互作用和拉伸，然后尺度越变越小。

在上图中，涡流尺寸变小，将沿着湍流图谱不断下移，最终被分子粘度耗散成热量。多数情况下，这种热能非常低，无需担心损耗过大。

需要强调的是，牢记这种图片，有助于理解许多效应以及湍流中遇到的问题，尤其在设计求解时，大多情况下，对混合流体的影响来自大尺寸的涡流。

05、涡流伸展

上图展示喷嘴喷射流动的过程，从图中可以观察到涡流是如何形成的，然后他们变大，最后得到拉伸，在流动后方形成新的涡流。

涡流的存在意味着涡流度，涡流度是指对一个流体中绕着一个轴旋转的涡流的度量。涡流度沿涡线或涡束集中，涡流线/束由于较大的涡流的诱导速度而发生扭曲，形成大涡流，然后它们开始随机分开，长度增加，尺寸减小，涡流越来越小。

涡流发生动量交换，速度变得更快。涡流的直径越来越小，大部分的湍流动能都包含在最大的涡旋中包含在最大的涡流中，大部分的涡流度都包含在最小的涡流中。

06、湍流尺度
湍流真正的问题是尺度的处理。

最小尺度：

最小尺度的涡流耗散成了热能，这个最小尺度通常被称为Kolmogorov尺度。有两个相关的变量是：

  · 耗散率：就是每次耗散的能量总额，决定了涡流的大小；

  · 分子粘度：这是耗散的首要原因，如果没有分子粘度，涡流会越变越小，直到无限小。

这两个变量形成了唯一的长度尺度：

这就是Kolmogorov长度尺度。

工程流动通常包括空气或水，其分子粘度很小，因此Kolmogorov尺度也很小。需要注意的是，这些都是一维的变量，实际计算都是三维结构，需要在三维空间进行求解。

最大尺度：

图谱的另一部分是最大尺度。最大尺度湍流通过湍动能产生率Pk 形成，它们从生长周期中提取能量。所有产生的湍流最终都会消散，因此，平均而言：

大部分湍流动能储存在大尺度涡中。因此，估计大尺度大小的两个相关量是：

  · 湍流动能k ；

  · 与湍动能产生率Pk相等的耗散率ε（单位时间和单位体积的耗散）涡流在这里没有发挥作用，因为大尺度涡产生过程不受分子粘度影响。

由这两个量可以形成的唯一的长度尺度是：

就是我们常说的湍流长度尺度。

07、湍流求解的挑战
涡流的大小尺度之间存在差异，求解的时候必须同时对两者进行求解，湍流是一个连续问题，用Navier-Stokes方程描述。因此，湍流建模不存在问题。但是，求解数值仿真中的所有湍流尺度的代价非常高昂。

  · 在数值模拟中，解决所有尺度的湍流被称为“直接数值模拟”(DNS)

  · DNS计算量非常庞大，从大小尺度的比例可以观察得到：

  · 并且这些尺度必须在三位模型求解

  · 此外，也要同时求解湍流尺度

因此，DNS的求解成本约为雷诺数Re的三倍，对于求解高雷诺数流动，其成本非常高。通常只能对非常简单的域和非常小的雷诺数进行DNS仿真，一般不用于工程仿真。

08、求解方法
DNS：直接数值模拟

  · 对所有尺度涡流进行求解；

  · 无需额外的湍流模型；

  · 对于实际流动而言，计算量过大。

LES：大涡模拟

大涡直接解析，小涡直接建模；

计算量比DNS少，但在实际应用中往往计算量庞大。

RANS：雷诺平均方法

  · 计算湍流信息的平均数，求解时间平均方程。

这是工程应用中最常用的方法。应用RANS必须建立模型来解释湍流效应。

09、RANS平均方法

假定我们在上图位置放置监测点，并记录信号，比如x方向的速度，可以得到：

显然可以通过这些数据得到平均值和一些波动量：

我们需要某种平均方法可以应用到方程上。雷诺平均法是通用的平均方法，取监测点在时间和空间上的速度，将其分解为平均速度和波动速度，经过多次反复实验，来定义平均速度：

如果实验稳定，就可以用简单的时间平均代替整体平均，这就是雷诺平均方法的基本原理：用平均场和波动场代替真实的速度场。

10、RANS方程推导
将平均速度和波动速度代入Navier-Stokes方程可得：

将平均速度和波动速度代入瞬态Navier-Stokes方程：

这里有一些做平均的规则：

基于以上规则，可以得到雷诺应力项/湍流张量。

11、RANS方程
RANS方程 (Reynolds Averaged Navier-Stokes equations)

与动量方程类似，对流项的时间平均值、压力项、分子项都是基于平均流动，根据雷诺应力张力得到最后一项附加项，该点的雷诺应力张量未知，因为这是湍流对平均流动的影响。

我们可以将雷诺应力当成接口，应用湍流模型，将上述平均流动方程与湍流关联起来。根据定义，雷诺应力张量是对称的，实际上只有6个独立分量，而不是9个分量（因为矩阵对角线上端和对角线下端是一样的）。

12、RANS特点
RANS没有在时间和空间上直接求解异常复杂的湍流运动，而是通过时间平均量来求解，最后得到空间尺度、时间尺度、涡流粘度和平均流速。

RANS方法虽然简化了很多过程，但同时在平均过程中丢失了所有湍流信息。因此，有必要对湍流进行建模。

RANS方法可能会带来很大的误差，误差的大小取决引入湍流模型的细节，这一问题没有通用的解决方案，因为湍流模型和湍流建模方法很多。当然仿真结果的准确性还取决于其他方面，包括数值、求解、壁面处理等。作为CFDer，需要了解湍流以及如何对它们进行建模。

13、RANS建模：模型的封闭
RANS的控制方程中，具有三个动量方程、质量守恒方程、三个速度分量和压力，同时也有额外的六个雷诺应力分量。独立变量数超过了方程数，因此无法直接求解方程组。RANS方程解决这个问题有以下两种不同的途径。

涡粘模型：

通过引入湍流粘度（涡粘度）来对应力张量进行建模，增加流动的混合方式。这种方式应用非常普遍，在所有运行的仿真软件中，这种方法的使用率约为95%甚至99%。

涡粘模型：

涡粘模型的关键概念是Boussinesq 假设。Boussinesq假设认为雷诺应力可以通过湍流粘度类比为粘性或分子应力

其中，Sij表示应变率张量。因此，两者的关系可以表示为：

需要注意的是，湍流粘度不是流体特性，而是湍流特性。

雷诺应力模型RSM：

相比之下，雷诺应力模型并没有基于假设，而是直接从Navier-Stokes方程导出了一些二阶矩封闭公式。我们有六个独立雷诺应力需要与尺度方程结合，还需要涡流尺寸信息及其应力分布。

  · 每个未知的雷诺应力都有独立求解变量，需要求解六个额外的输运方程和动量方程。

  · 计算成本较涡粘模型增加了不少，雷诺应力模型通常很难收敛，对网格质量要求更高。这也是RSM无法在工程仿真产生重要影响的主要原因。

14、尺度解析仿真模型
如果流动过于复杂导致前面假设不适用，就需要用到SRS模型。SRS指的是至少可以求解一部分流域的湍流，并不要求在SRS模型下求解所有的域，也不会求解尺度解析区域中的所有涡流，但至少能够求解部分流域中的一些涡流。

DNS：直接数值模拟

在时间和空间尺度上求解所有湍流；随着雷诺数增加，计算成本极高。

LES：大涡模拟

求解尺度大的涡流，对小涡流进行建模处理；不稳定，时间步长由最小解析涡流决定。

混合SRS模型

结合RANS方法和LES方法的特点。

15、湍流模型的影响
  · 在CFD中使用RANS模型，相对于DNS，将所需的计算能力降低了许多个数量级。

  · 简化的同时也会带来一定的小误差。

  · 根据应用场合，RANS可能会对仿真带来不同程度的误差，作为CFDer必须找到方法将误差降到最低。

  · 意味着要选择合适的湍流模型和子模型、高质量的网格、最佳的数值设置。

  · 如果RANS模型无法解决，则要尝试从SRS模型下手。

总而言之，湍流本质上是不稳定、不规则、而且是三维的，它们拥有广泛的时间和长度尺度。在这些流动中，湍流由Navier-Stokes方程控制，因此原则上我们可以对其进行求解，但是需要求解所有尺度，从耗散到Kolmogorov尺度到平均流动尺度，会导致数值仿真成本太高，不适用于工业应用。RANS是其中一种方法用于消除湍流尺度，其控制方程为雷诺平均Navier-Stokes方程。为了得到封闭的方程组，需要对这些方程组中的雷诺应力项进行建模，使方程组封闭。

来源：BB学长微信公众号（ID：fj_chenzhibin）