关于三维静动力分析

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一、结构动力的研究方法

动力学问题在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域，最经常遇到的是结构动力学问题，它主要包括：动力特性分析和动力时程分析两种类型。对水电站厂房的动力分析，主要研究厂房结构在地震和机组震动作用下厂房结构的应力分布以及其稳定性。因此，对厂房结构的动力分析也就是抗震分析。目前，对水电站厂房动力分析的方法常有以下几种：

  · 振型分解反应谱法：根据振动分析，多质点体系的振动可以分解成各个振型的组合，而每一振型又是一个广义的单自由度体系，利用反应谱便可以得出每一振型水平地震作用。经过内力分解计算出每一振型相应的结构内力，按照一定的方法进行各振型的内力组合。该方法考虑了多个振型的影响，计算精度较高，但该方法是利用反应谱得出每一振型的地震反应，以静力方式进行结构分析，属于拟静力法的范畴。

  · 时程分析法：根据结构振动的动力方程，选择适当的强震记录作为地面运动，然后按照所设计的建筑物确定结构振动的计算模型和结构恢复力模型，利用数值解法求解动力方程。该方法可以直接计算出地震地面运动过程中结构的各种地震反应（位移、速度和加速度）的变化过程，并且能够描述强震作用下，结构在弹性和弹塑性阶段的变形情况直至倒塌的全过程。该方法属动力分析的方法，由它可以了解结构反应的全过程，由此可以找出结构地震过程中的薄弱部位和环节，以便修正结构的抗震设计。但该方法耗时太多，并且所选的地震波也不一定就能代表结构实际要遭遇的地震。所以，目前只对一些体型较复杂的建筑和超过一定高度范围的高层建筑，才应用该方法来检验结构抗震性能。

  · 随机分析法：由于震动的随机性和复杂性，结构的地震反应也应该是随机而复杂的，因而只能求得结构地震反应的统计特征，或者求得具有出现概率意义上的最大反应，这一方法从随机观点处理了反应超过定值的概率，使抗震设计从安全系数法过渡到了概率理论的分部系数法，它属于结构地震反应分析的非确定性分析法。

· 能量分析法：地震作用下，地震动的能量输入到结构，要转换成结构的应变能而耗散地震动的能量。该方法就是分析这种能量的转换关系或直接比较能量的输入与耗散，以结构在地震中的变形、强度和能量吸收能力作为衡量标准，按允许耗能状态进行设计，控制结构的变形和强度。用能量耗散性质可以反应结构的地震非弹性反应能量耗散的全过程，既反映了结构的变形，又表达了地震反复作用的次数即强震的持续时间，从而能反应地震的累积破坏。该方法的优点就在于，它包括了力和变形两个方面的问题，是力和变形的综合度量。同时，对地面运动的敏感性也较小，输入地震波的性质变化对能量反应不如对变形的影响大。这是一种很有发展前途的方法。

二、有限单元方法及静动力分析理论

在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，都可以归结为在定边界条件下求解其控制方程、常微分方程或者偏微分方程的问题。但是，能够采用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单、几何形状相当规则的问题。对于大多数的工程技术问题，由于方程的某些非线性特征，或者由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能够得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径：

  · 一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解。但是这种方法只在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至错误的解答。

  · 另一种途径是保留问题的复杂性，利用数值计算方法求得问题的近似数值解，随着电子计算机的飞速发展和广泛使用，已逐步趋向于采用这种方法来求解复杂的工程实际问题。而有限单元法便是解决这些复杂工程问题的一个比较新颖并且十分有效的数值方法。

有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、并且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联接方式进行组合，而且单元本身又可以有不同形状，因此，可采用有限个单元对几何形状复杂的求解域进行离散。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是，利用每一个单元内假设的近似函数来分片地表示整个求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或者及其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表示。这样，该问题的有限元分析中，未知场函数或者及其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元满足收敛要求，近似解最终将收敛于精确解。

有限单元法的实现必须通过计算机。全部有限单元法的计算原理和数值方法集中反应在有限单元法的程序中，因此有限单元法的程序极为重要。60年代末70年代初，随着有限单元法的日益成熟和计算机技术的发展，出现了大型通用有限元程序。到80年代初期，国际上较大型面向工程的有限元通用程序达到几百种，其中著名的有ANSYS、NASTRAN、ASKA、ADINA、SAP等。它们多采用FORTRAN 语言编写，规模达几万条甚至几十万条语句，其功能越来越完善，不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有功能强大的前处理和后处理程序。由于这些有限元程序功能强、使用方便、计算精度高、效率高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。目前，大型通用有限元分析程序通过不断吸收计算方法和计算机技术的最新成果，将有限元分析、计算机图形学和优化技术相结合，已经成为解决现代工程问题必不可少的有力分析工具利用有限元分析程序。

利用有限元分析软件，人们可以对结构进行分析和优化设计，解决常规设计难以解决的问题，在产品设计的早期阶段就能预测可能出现的故障，从而提高产品设计质量降低产品开发成本，缩短产品设计和分析的循环周期，提高产品和工程的可靠性，减少设计成本。

有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的待求物理量可由单元节点物理量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点之间的方程式，然后将各个单元方程“装配”在一起形成总体代数方程组，加入边界条件后即可对方程组求解。有限单元法分析计算基本思路可以归纳如下：

1. 物体离散化　

首先将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，然后利用单元的节点将离散后的单元与单元相互连接起来。单元节点的设置、性质、数目等应根据问题的性质描述变形形态的需要和计算精度而定。一般情况下，单元划分越细则描述变形情况越精确，越接近实际变形，但是这样计算量也越大。所以，有限元法中分析的结构已经不是原有的连续物体或者结构，而是同样材料的众多单元以一定方式联接成的离散体。因此，有限元分析计算所获得的结果只是近似解。如果划分的单元数目足够多且又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

2. 单元特性分析　

  · 选择位移模式：从选择基本未知量的角度来看，有限元法可以分为三类：位移法、力法和混合法。位移法易于实现计算自动化，所以在有限元法中应用范围最广。采用位移法时，物体或结构离散后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等用节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数来描述。通常，有限元法中我们将位移视为坐标变量的简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数。

  · 分析单元的力学性质：根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找到单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，推导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。

  · 计算等效节点力：物体或者结构离散后，假设力是通过节点从一个单元传递到另一个单元的。但是对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元中去的。因而，作用在单元边界上的表面力、体积力或者集中力都需要等效地移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

3. 单元组集　

利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程：

式中，k 是整体结构的刚度矩阵，q 是节点位移列阵，f 是载荷列阵。

4. 求解未知节点位移　

解有限元方程式得出结构，这里可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。

通过上述分析，可以看出，用有限元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。

来源：CAE技术联盟公众号（ID：caejslm），文章综合整理自网络。