材料力学笔记之——弯曲切应力、梁的强度条件

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横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上既有正应力又有切应力。下面，讨论几种常见截面梁的弯曲切应力。

矩形截面

从发生横力弯曲的梁上截取长度为dx 的微段，该段梁上没有载荷作用，微段两侧截面上的剪力相等，但方向相反。右侧截面上的弯矩相对左侧截面有增量，因为弯矩不等，因而两截面上的正应力也不相同。

对于狭长矩形截面，由于梁的侧面上无切应力，根据切应力互等定理，截面上两侧边各点处的切应力与边界相切，即与边界平行，梁发生对称弯曲，对称轴y 轴上的切应力一定沿着y 方向，在狭长截面上切应力沿宽度方向变化不大。

于是，关于横截面上切应力的分布规律，作以下假设：

  · 横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力；

  · 切应力沿截面宽度均匀分布，即与中性轴平行的横线上各点的切应力大小相等。

截面高宽比大于2的情况下，以上述假定为基础得到的解与弹性理论的精确解相比，有足够的精确度。

根据切应力互等定理，横截面垂直的纵向截面上应存在与横截面上大小相等的切应力。沿矩中性轴距离y 的纵向面把微段截开，取纵向面下侧微元，受力如图所示。

左侧截面上正应力的合力为

右侧截面上正应力的合力为

显然这两个合力大小不等，纵向截面上必存在一个沿轴向的力使微段保持平衡，这个力为切应力的合力，这也证明了纵向截面上存在切应力，由于dx 是小量，则设纵向面的切应力均匀分布

根据平衡条件

即

其中

由切应力互等定理及剪力与弯矩之间的微分关系

可得

其中：b 为截面上矩中性轴为y 的横线的宽度，对于矩形截面为常数；Iz 为整个横截面对中性轴的惯性矩；Sz*为横截面上矩中性轴为y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩；Fs为横截面上的剪力。

其中

代入切应力计算公式

切应力沿截面高度为抛物线分布，当y=0时，即中性轴处有截面上的最大切应力

角应变为

可见角应变大小沿截面高度也为抛物线分布，此时横力弯曲时横截面翘曲形状如下图，验证了横力弯曲变形不满足平面假设。

剪力不变的横力弯曲，相邻横截面上的切应力相同，翘曲程度也相同，纵向纤维的长度不因截面翘曲而改变，因此不会引起附加的正应力。若剪力随截面位置而变化，相邻两截面上的翘曲程度不同，在截面上引起附加的正应力。

对于其他形状的对称截面，均可按上述的推导方法，求得切应力的近似解。对于矩形截面，在应力计算公式中截面宽度b 为常数，而中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静矩最大，所以中性轴上各点处的切应力为最大。

对于其他形状的对称截面，横截面上的最大切应力通常也均发生在中性轴上的各点处，只有宽度在中性轴处显著增大的截面（如十字形截面）或某些变宽度的截面（如等腰三角形截面）等除外。因此，下面对于工字形、环形和圆形截面梁，主要讨论其中性轴上各点处的最大切应力。

圆截面

由切应力互等定理，在圆截面边缘上各点处切应力的方向与圆周相切。而在对称轴的各点处，由对称性其切应力必沿y 方向。因此，切应力分布规律可以假设为：

  · 沿距中性轴为y 的宽度上各点处的切应力均汇交于对称轴一点；

  · 沿宽度各点处切应力沿y 方向的分量相等。

圆截面的最大切应力仍在中性轴上。由于在中性轴两端处切应力的方向均与圆周相切，且与外力作用方向平行，故中性轴上各点处的切应力方向均与外力平行，且数值相等。最大切应力为

工字形截面

工字形形截面属于开口薄壁截面，且应力分布如图，沿壁厚切应力大小相等，称为切应力流，流向沿着剪力的方向（与水流一样，沿着剪力方向，从上游流向下游）。翼缘上平行于y 轴的切应力分量是次要的，忽略不计，主要是与翼缘长边平行的切应力分量。腹板上的切应力为抛物线分布，应力大小如图所示，其最大切应力在中性轴处。

如果是工字形型钢，最大切应力

其中，b 为腹板的厚度，Iz/S*zmax 可以查型钢表得到。

如果是三个狭长矩形组成的工字形截面，可求得腹板上的最大和最小切应力分别是

从以上两式看出，腹板的宽度远小于翼缘的宽度，因此腹板上的最大切应力与最小切应力实际上相差不大。所以，可以认为在腹板上切应力大致是呈均匀分布的。腹板上的切应力合力占到总剪力的95-97%，横截面上的剪力绝大部分由腹板所负担。既然腹板几乎负担了截面上的全部剪力，而且腹板上的切应力又接近于均匀分布，则最大切应力可以用腹极的截面面积除剪力近似计算最大切应力

同时，工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处，每一点的正应力都比较大，所以翼缘负担了截面上的大部分弯矩。

薄壁环形截面

薄壁环形截面，厚度为d，环的平均半径为r，厚度远小于平均半径，故可假设：

  · 横截面上切应力的大小沿壁厚大小相等；

  · 切应力的方向与截面中线相切，切应力流方向沿着剪力方向。

最大切应力位于中性轴

式中，A 为环形截面的面积。

梁的强度条件

弯曲正应力强度条件：

  · 关于中性轴对称的截面，其最大拉正应力和最大压正应力相等，常用塑性材料，其强度条件

  · 关于中性轴不对称的截面，其最大拉正应力和最大压正应力不相等，常用脆性材料，其强度条件

弯曲切应力的强度条件是

提高梁弯曲强度的措施

弯曲正应力是控制梁的主要因素。所以弯曲正应力的强度条件，往往是设计梁的主要依据。

从强度条件出发，要提高梁的承载能力应从两方面考虑，一方面是合理安排梁的受力情况，降低最大弯矩值；另一方面则是采用合理的截面形状，提高截面的抗弯截面系数，充分利用材料的性能。

1. 合理安排梁的受力情况

改善梁的受力情况，尽量降低梁内的最大弯矩。

如图所示受均布载荷的梁，当把支座从梁的两端位置向里移动一段距离后，梁上的最大弯矩大大减小。如门式起重机的大梁、柱形容器等，其支撑点略向中间移动，都可以取得降低最大弯矩值的效果。

2. 梁的合理截面

抗弯截面系数越大，则应力越小，梁的承载能力越高。

如受竖直方向载荷作用的梁，把截面竖放时的抗弯截面系数较大，竖放比平放更为合理。

在提高截面的抗弯截面系数的同时，还希望用较少的材料，达到较好的经济性。因此，一般用抗弯截面系数与截面面积的比值衡量截面设计的合理性。在相同截面面积的情况下，矩形截面（高度大于宽度）比圆形截面合理，而工字形截面或箱形截面比矩形截面合理。所以，为了充分利用材料，应尽可能地把材料放置到离中性轴较远处。

在讨论截面的合理形状时，还应考虑到材料的特性。对抗拉和抗压强度相同的材料（如低碳钢），宜采用对中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形、箱形等。这样可使截面上、下边缘处的最大拉应力和最大压应力数值相等。

对抗拉和抗压强度不相等的材料（如铸铁、水泥等），宜采用中性轴偏向于受拉一侧的截面形状。

等强度梁的概念

前面讨论的梁都是等截面的，抗弯截面系数为常数，但通常情况下梁的各截面弯矩是随截面的位置而变化的。等直梁的截面设计要根据最大弯矩处进行，其最大应力接近许用应力，其余各截面上弯矩较小，应力也就较小，材料没有充分利用。为了节约材料，减轻自重，可改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。在弯矩较大处采用较大截面，而在弯矩较小处采用较小截面。这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。

如变截面梁各横截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力，称为等强度梁。

来源：材料力学之教与学微信公众号（ID：gh_5346e0e799fa），作者：关学锋。