计算流体力学的“三国演义”

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东汉末年，时代动荡不安，从黄巾起义开始，各地豪强纷纷揭竿而起，一时间诸侯割据，互相攻伐兼并，一度形成了魏、蜀、吴三足鼎立之势。

反观流体力学，自1845年N-S方程问世以后，流体江湖的大佬不断涌现，雷诺率先将N-S方程中的速度拆解成时均项和脉动项，吸引了无数的追随者，从而开启了流体力学百年的RANS时代。近四十年来，以RANS为基础的有限体积法羽翼逐渐丰满，在与有限差分、有限元等数值方法的割据混战中逐渐胜出，并成为CFD江湖中最强大的势力。

不过天下大事，分久必合，合久必分。

01、魏武挥鞭从何起？

时光荏苒，从1895年雷诺提出雷诺平均的N-S方程到20世纪90年代初，历经百年沧桑的RANS方法一路跌跌撞撞，从学术圈闯荡到了工程界。其中贡献最大的莫过于美国洛斯阿拉莫斯国家实验室 (Los Alamos National Laboratory) T-3 流体力学研究小组和伦敦帝国理工学院 (Imperial College London) D. B. Spalding 教授的科研团队，他们的研究成果奠定了湍流模型、数值格式以及求解方法等CFD的重要基石，从而将RANS方法正式推向了工程应用。今天，市面上绝大部分的商用CFD工具都可以溯源到这两个单位的成员或研究成果。

尽管有众多学术大佬的背书和站台，可是追求实用的工程界对于早期的CFD软件完全不买账。毕竟工程界的要求与学术研究完全不同，对于工程师来说，“简单、好用、稳定、算得准”才是一个好的工具。

机会在20世纪90年代逐渐来临，那段时间的全球科技仿佛开了挂一般，传统工业和计算机硬件发生了天翻地覆的变化，而许多CFD软件也在数学方法和物理模型上取得了长足的进步。硬件方面的进步使得工业界的用户开始尝试使用高性能计算集群 (HPC)；而另外一方面，基于非结构化网格的有限体积法、多重网格法以及滑移网格等适用于复杂几何计算的数值方法，开始进入大众的视野。

当然，CFD软件本身在界面友好性和鲁棒性上也有了大幅的改善。这些进步使得终端用户对于CFD软件的态度开始发生变化，而不断加速产品迭代的传统工业领域也急需更加先进高效的仿真工具助力产品的研发。

也许是科技进步促使了传统工业和CFD软件找到了越来越多的结合点，双方开始不断的求同存异。到了本世纪初，CFD软件在工业领域已经全面铺开。甚至有一些CFD软件公司开始专注在某一类特定的工业领域，比如汽车空气动力学、叶轮机械设计、电子散热等等，并搭建了自动化仿真流程，将设计、仿真和优化结合起来，打造一体化的集成平台。基于RANS和有限体积法的CFD软件在各行各业都大显身手，率先迎来了自己的时代。

02、老骥伏枥，可有余力？

随着时间的推移，CFD方法和工业应用的结合越来越紧密，已经深度融入许多产品的设计流程中。然而传统的CFD是基于场域的有限体积法，需要用户先根据计算场景将计算域抽取出来，再划分流场的网格。当模型复杂的时候，用户便不得不简化许多模型的几何细节。

通常情况下，一辆整车的外流场网格需要一名熟练的建模工程师花费2-3周的时间才能完成，劳心又劳力。另外，流动本质上就是瞬态的，而传统CFD基于雷诺平均的N-S方程，从源头上就忽略了对非定常湍流信息的模拟，转而寻求平均意义下的流动结果，因此RANS方法面对强瞬态的问题时便显得捉襟见肘。

而随着全民CFD时代的到来，偶像剧里都开始出现CFD计算了，再加上某些软件厂商号称“模拟全宇宙”的推波助澜，简直是把各位终端用户逼到了墙角。无论实际工程上碰到什么难题，领导都会说一声，“那个谁，小王，你们CFD团队把这个问题算一下看看。”

然而，很多实际工程问题涉及到的不仅仅是一个部件，可能是一个整机或者一个完整的系统，另外许多技术问题也不是单一的流动问题，而是包含流固，甚至是流、固、热、声、电磁等复杂的多物理场耦合问题。

基于N-S方程的传统CFD方法虽然也在快速地进步，不断加强前处理的自动化程度和瞬态计算的能力，但是刻在骨子里的基因使得传统CFD在面对复杂几何运动和强瞬态问题时总显得不够那么灵活。于是，另外两种天然瞬态的CFD方法开始崭露头角。

03、本是中山靖王后人的LBM

在青梅煮酒的典故中，曹操嘲讽了一众所谓的天下豪杰，而后对刘备言道：“今天下英雄，唯使君与操耳。”承蒙乱世枭雄曹操看得起，刘皇叔必有其过人之处。那么，在计算流体力学的三国中扮演玄德公的LBM，又是如何发展壮大的呢？

1940年代，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的斯坦尼斯拉夫·乌拉姆和冯·诺依曼提出了元胞自动机的概念，随后在流体力学领域催生了格子气自动机 (LGA)，这也是格子波尔兹曼方法 (LBM) 最早的雏形。随后，又有学者从分子混沌的假设出发，用玻尔兹曼输运方程代替了LGA的演化方程，叩开了格子波尔兹曼方法的大门。

实际上，起源于元胞自动机的LBM在正统的统计物理范畴下，也有着清晰的脉络。19世纪中期，气体动理论的主要奠基人克劳修斯 (Clausius)、麦克斯韦 (Maxwell) 和玻尔兹曼 (Boltzmann) 三人引进了统计概念，将宏观理论和微观基础联系了起来。1902年，Gibbs（吉布斯）把麦克斯韦和玻尔兹曼所创立的统计方法发展为系综理论 (Ensemble Theory)，使原来仅适用于气体的理论，推广到气体、液体和固体，并发展为今天的统计力学。

四位大佬的存在也坐实了LBM的皇家血统，不愧是中山靖王之后。LBM的正统推导过程大概可以表述为：针对玻尔兹曼输运方程，首先使用BGK模型将碰撞算子线性化，然后在指定坐标系下进行时空离散得出LBGK方程，最终对平衡态函数进行泰勒展开并略去高阶项，即可得出LBM的控制方程以及各项参数。

相对于传统CFD方法需要求解复杂的二阶非线性的N-S方程，LBM求解的玻尔兹曼方程是简单的线性方程，其数学处理要简单的多。另外，LBM基于粒子的统计分布在时域上显示推进，在本质上与传统CFD基于隐式迭代的欧拉法完全不同。

因此，LBM方法是天然瞬态可压缩的计算方法，同时LBM所用的完全直角网格也不愧是CFDer梦寐以求的完美网格，不仅网格质量无可挑剔，而且可以全自动生成，极大的简化了前处理的工作。同时，LBM非常适合大规模的CPU/GPU并行，在未来GPU大规模融入仿真计算的趋势下，LBM给了人们更大的想象力。

相对于传统CFD，LBM方法非常适合复杂几何结构的瞬态空气动力学和气动噪声的计算，而实际工程上，越来越多的航空和汽车厂商开始使用LBM方法进行相关的仿真分析，极大的填补了传统CFD难以驾驭的仿真领域，而学术圈更是通过数学推导证明了LBM具有Beyond N-S方程的特质。学术和工程上的优势就像守卫在LBM两侧的大将，帮助LBM不断地开拓疆土，而LBM也开始具备了王者之气。

04、特色鲜明的粒子法

建安十八年，曹操率领大军进攻濡须口，与孙权相持一月有余。曹操见孙权水军严明整肃，不禁感叹道：“生子当如孙仲谋”。作为被曹操感慨过的又一英豪，孙权的割据套路与曹操、刘备也有相当大的差异，并靠长江天险和强大的水军赢得了自己的生存空间。

回到CFD方法，我们知道传统工具是标准的欧拉场域的方法，而LBM固然是在时域上追踪粒子的速度分布函数，但是它仍然需要在计算之前划分好固定的网格，因此更像是一种披着欧拉外衣的拉格朗日方法。显然，面对工程界庞杂的应用范围，世界还需要更纯粹的拉格朗日方法去解决某些特定的问题。

最近十几年，有一类标准的拉格朗日方法从不同行业渗透到了传统工业界，它们之前在天体物理、电影特效等领域发挥着重要的作用。这一类软件的主要特点就是无需画网格，直接利用粒子代替流体，求解流场的运动。其中最有名的便是光滑粒子法 (SPH)，SPH是一种纯拉格朗日的无网格粒子计算方法。最早由Gingold、Monaghan 和Lucy 于1977年提出，用于模拟三维空间的天体问题，之后被逐渐引入到工程应用领域。

SPH方法用一系列粒子表示整个流场，流场中某一点的属性通过相邻区域的属性来描述，而它们两者之间的关系通过核函数建立。因此，SPH在具体计算过程中一般分两步：第一步是“核函数逼近”，将描述流场的函数近似表达为任意函数和核函数乘积的积分；第二步是“粒子逼近”，通过一系列粒子将流场离散化。

SPH通过一系列粒子表示整个流场，使得CFD计算的前处理得到极大的简化。因为SPH方法无网格的特性，计算过程中的刚体运动或者几何变形都能够很轻松的驾驭。传统CFD虽然也开始使用嵌套网格等动网格技术，但是面对复杂几何运动或者大的几何变形时，经常会出现网格畸变，导致计算的发散。因此，相对于传统的RANS方法，SPH更加适用于强非线性的水动力以及复杂的流固耦合问题。

在许多工程领域，比如齿轮箱搅油、整车涉水、淋雨等工况，SPH都有着不错的表现，给人眼前一亮的感觉。但是随着更加深入的工程验证，SPH在计算精度上的缺陷也逐渐展现出来。SPH方法的压力采用显示求解，虽然计算速度很快，但由于数学计算缺乏一定的严谨性，其计算的压力场不够准确。

为了保留无网格方法的优势，同时提高计算精度，学术圈又提出了半隐式运动粒子法 (MPS) 和有限体积粒子法 (FVP)，这两种方法本质上是相似的，通过求解压力泊松方程获得更加准确的压力场。类似的粒子法也开始融入新的CFD工具，并得到越来越多的关注。另外，粒子法和GPU的结合也实现了更高效的瞬态计算。相信在不久的将来，粒子法也会在CFD市场中赢取自己的领地，成为“三国演义”中不可或缺的力量。

05、浪花淘不尽英雄

CFD市场犹如滚滚东逝的长江之水绵延不绝，而基于N-S方程的有限体积法依然是当仁不让的大哥。可是面对越来越复杂的工程问题，老大哥也不免露出了疲态，而天然瞬态的LBM和粒子法带给了人们全新的视野，于是不同的物理方法凭借着各自的技术优势，在CFD的江湖大显神通，演绎着“三国演义”般的历史大戏。相信随着技术的不断革新，不同的物理方法也会不断地进步，补足各自的短板，甚至相互融合，共同助力全新的工业革命。

来源：LBM与流体力学微信公众号（ID：LBMCFD），作者：卢比与钢蛋。