模态参与因子和模态有效质量

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模态参与因子指系统的某一阶特定的模态在系统频率响应中的参与量，它包含声学模态参与因子（即每一阶声学模态对车内声学响应的参与量）和结构模态参与因子（即每一阶结构模态对车内声学响应的参与量）。模态参与因子较大的模态称为结构的主导模态，在结构响应中起支配作用。结构物和环境因素一旦被确定，结构的主导模态也就确定了。一般情况下，结构的主导模态有多个，当有多个模态同时支配结构的响应时，结构的动应力可视为主导模态与各次主导模态的组合作用的结果，其对某点贡献是空间矢量叠加。

模态有效质量提供了一种判断该模态是否重要的一种方法，具有较高模态有效质量可以较容易被外界激励激励出来。相反，较低的模态有效质量不易被外界激励。

01、定义

某系统动力学方程如下式所示。

其中，M，is the mass matrix；K，is the stiffness matrix； ，is the acceleration vector； ，is the displacement vector； ，is the forcing function or base excitation function。

定义𝜙 为系统模态特征值向量，定义系统的广义质量矩阵为下式

定义r 为位移变换向量，表示由施加单位支座静位移引起的每个结构自由度的位移，定义系数向量如下式所示。

系统第i 阶模态的模态参与因子矩阵定义为下式

系统第i 阶模态的模态有效质量如下式

对应第i 阶模态，如果取n 个自由度，则模态参与因子为1×n 的向量，而有效模态质量为n×n 的向量。在平动方向上，各方向所有的有效模态质量之和等于系统总质量，在转动方向上，有效模态质量之和等于系统总转动惯量。

02、举例说明

例一：

以某二自由度系统（如下图所示）为例，该系统的各个参数值下表所示。

该系统的动力学方程如下式所示。

其中，质量矩阵为

刚度矩阵为

系统的模态特征值可以通过下式计算得到

得到系统模态频率如下

系统的特征值向量为

该系统的广义质量矩阵为

位移变换向量r 为

系数向量为

根据第i 阶的模态参与因子为

该系统模态参与因子矩阵为

根据模态有效质量公式

第1阶模态的模态有效质量为

第2阶模态的模态有效质量为

由上式可知各方向所有的有效模态质量之和等于系统总质量。

例二：

一个板，其自由状态下的模态频率，如下图所示。

其一阶频率26.453Hz的模态参与因子如下图所示。

参考文献：
[1]Irvine T.EFFECTIVE MODAL MASS & MODAL PARTICIPATION FACTORS Revision F[J]. 2013.
[2]张保强, 陈国平, 郭勤涛. 基于模态频率和有效模态质量的有限元模型修正[J]. 振动与冲击, 2012, 31(24):69-73.
[3]张开银, 陈建辉, 刘利军. 基于模态分析技术的结构动应力研究[J]. 武汉理工大学学报(交通科学与工程版), 2007,31(6):991-994.

来源：声振测试微信公众号（ID：gh_21d5ab08b079），作者：于长帅。

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