网格划分、结构化网格生成技术及网格质量标准

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一、网格划分概述
Ø 网格划分就是把空间上连续的计算区域划分为许多子区域，并确定每个子区域的节点，用一组有限个离散的点来替代原来连续的空间
Ø 网格质量的好坏直接影响数值结构的精度甚至成败
Ø 网格分结构网格和非结构化网格两类
  - 结构网格：在每一个方向上定义一个指标(i,j,k)，通过指标的增减可以很快确认网格点之间的邻近关系
  -非结构化网格：网格系统中的节点的编号命名并无一定的规律，而且每一个节点的邻点个数也不是固定 不变的

二、结构化网格生成技术介绍
Ø 结构化网格生成方法：
  -代数网格生成方法：利用一组坐标变换，将复杂的几何外形变换为简单的计
算域，然后在计算空间内划分等距均匀网格，最后反变换至物理空间，形成计算网格；可以方便地控制网格点的分布和边界处的正交性，但复杂结构下很难找到插值函数；
  -保角变换网格生成方法：与代数方法类似，但是利用解析的复变函数来完成
映射；能精确地保证正交性，能应用局限于二维
  - 求解微分方程的网格生成方法：物理空间坐标和计算空间坐标之间是通过微
分方程组联系起来的，如果所有边界都已定义，则为椭圆形方程；如果部分已定义，则为抛物形或者双曲形；能保证边界处网格的正交性，但需要迭代求解，计算效率较低

Ø 结构化网格类型：

  - 单块结构网格

  -多块结构网格：

▉多块对接

▉多块拼接

▉重叠结构网格

Ø 三种主要的非结构化网格生成技术：
Advanced Front（前沿推进）光顺算法
   - 对边界进行离散化（如在二维空间里用一组多边形来近似），这就是最初的前沿；然后选定某一前沿元，将某一在计算域中新插入的网格节点或前沿上的已经存在的点与该前沿元相连构成基本单元（二维时为三角形）。不断向计算域中推进，逐渐填充整个计算域。

   -阵面推进方法具有网格生成原理简单、自动化程度高、疏密易控制的优点。相比Delaunay方法，网格生成效率较低，质量稍差；

Ø Delaunay三角化方法
Ø Voronoi区的概念：该区内任意点P到Pk的距离比到其他网格点的距离要短，
该区成为Pk的Voronoi区；
Ø 连接相连的Voronoi区的包含点，则构成唯一的Delaunay三角形网格，满足
最小角尽可能最大的原则，即尽可能得到等边的高质量三角形网格；三角形
外接圆内没有其他节点
Ø 需要内部点生成算例，如取单元的外接圆圆心等
Ø 主要优点是网格生成速度快，但生成的网格没有使用前沿推进方法生成的网
格平滑，这种方法可能会出现稳定性的问题，边界难处理

Ø 基于四叉数或者八叉树的网格生成方法
quadtree/Octree算法
Ø 首先利用quadtree/octree数据结构生成多层次的笛卡尔（Cartesian）网格，然后将笛卡尔网格划分为基本单元，最后利用各种优化策略对初始网格进行光顺，得到最终的计算网格
Ø 生成独立的体网格，然后进行网格密度调整，再将网格映射到面、线和点上（先空间后物面）。

Ø 生成过程简单省时，但是边界上网格尺度差异较大，过渡不光滑，边界处网格质量需要优化；

三、网格质量标准介绍
Aspect ratio（纵横比）：
四边形：4个节点中的每个节点对应的两条边延伸成一个平行四边形；每个平行四边形的面积除以每个边长度的平方，得到8个可能的纵横比；最小比率作为四边形的纵横比；范围为0—1.0

Aspect ratio（纵横比）：

六面体：纵横比由最小边的大小除以最大边的大小来定义，范围为0—1.0，1.0代表立方体

三角形：

四面体:

行列式Determinant ：
  -行列式检查是雅可比矩阵的最小行列式除以雅可比矩阵的最大行列式的比率，来
表征单元的变形；
  -依据每个顶点的三条棱均可计算出一个体积Vi(i=1,…8)，Q=Vmin/Vmax
  -值为1表示理想的六面体立方块，而0表示具有负体积的反立方体；
  -通常，行列式的值在0.3以上可以为大多数求解器接受。
综合质量Quality：三角形/四面体->纵横比；四面体/四边形/六面体/金字塔 ->行列式