对于纳维-斯托克斯方程解的性质的一种猜想

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美国麻州的克雷 (Clay) 数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对解答出七个数学难题中的任何一个将会得到悬赏的一百万美元。其中之一就是流体力学中的纳维-斯托克斯方程解的存在性和光滑性问题。

数学家和力学家深信，起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶一斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。

力学和整个科学的发展表明，这的确够得上一个具有十分深刻的科学前景和广泛应用领域的顶尖的难题。

在力学，或者说在精密科学发展的早期，都是先捕捉一种现象的最基本的因素，略去次要因素。对于流体力学来说，也不例外。

对于流体的流动，最早比较普遍的模型是欧拉于1755年导出的理想流体的运动方程。这个方程略去了流体的粘性。拉格朗日对欧拉的这项工作给予很高的评价，他说：“欧拉的发现，使全部流体力学问题归结于数学分析问题。而一旦方程可以积分，则对所有外力、所有外部环境 之下的流动性质就可以被确定。可惜求解它是十分困难的，至今只有在十分特殊情形是成功的。”

到了1822和1845年，分别由法国的纳维和英国的斯托克斯得到的考虑进流体的粘性性质的普遍方程，即现今所称的纳维-斯托克斯方程。虽然这些方程是19世纪得到的，我们对它们的 了解仍然极少。这是因为，即使略去粘性的理想流体运动方程就已经复杂得很难求解了，何况考虑粘性之后使方程的阶次提高了，复杂得更难于下手，所以人们只得到屈指可数的准确解。而且随着粘性变小，流动会来得愈来愈不稳定，发展为湍流，这时流动的特性就更难掌握。

一百多年以来，人们一直是追求对纳维-斯托克斯方程的求解，尽管到二十世纪有电子计算机的介入，当时有人信誓旦旦地说：“再过三十年，风洞的唯一用处是堆放计算机打印纸”。这话的意思是说风洞会被计算机淘汰，可是至今近五十年了，大部分问题仍然无法计算，仍然不得不求救于风洞或别的实验装置。计算机并没有淘汰掉任何一种类型的风洞。

在力学中，第二个和流体力学有点类似的领域，是弹性板壳问题。这类问题看上去也许比起纳维-斯托克斯方程的难度要小，不过也不应当小瞧。最早是1805年法国科学家拉普拉斯给出均匀表面张力下薄膜的法向平衡方程，现在称为拉普拉斯方程。后来到1850年，德国科学家基尔霍夫给出了弹性薄板受弯曲时的一般方程和边界条件，到1888年，英国科学家勒夫才推广基尔霍夫的结果得到一般意义之下的弹性薄壳的方程。至于要得到薄壳理论的非线性方程，那是以后的事，并且它的难度也很不简单。

虽然得到的方程是很精确了，不过人们能够精确求解的却是屈指可数的。绝大多数感兴趣的情况没有办法求解。

1904年，德国学者普朗特提出一种对纳维-斯托克斯方程的近似方法。即在边界邻近采用一个近似方程称为边界层方程，而远离边界的区域则用理想流体的运动方程。得到的结果和实际情况很是接近。

1926年，德国学者盖克拉给薄壳方程提出一种类似于普朗特对纳维-斯托克斯方程的近似方法。即在薄壳的边界邻近引进一个近似方程，称为边缘效应方程，在远离边界的地方采用薄壳的无矩理论，也得到近似程度很好的解。

现在让我们从最一般的观点来把上面两类问题的方程组和初边条件统一写成一个形式

在这里我们令P(u)=0表示在薄壳问题中的无矩理论或薄膜问题的平衡方程和边界条件，而Q(u)=0这个方程包含导数的阶次比前者为高，在薄壳问题中表示薄壳在纯弯曲条件下的方程和边条件。而对于纳维-斯托克斯方程来说，它是速度向量u 的调和方程。上式中的ε 是一个小量，在薄壳问题的情形对应于厚度和曲率半径或特征宽度之比的平方，在流体力学的情形对应于雷诺数Re的例数。由于方程P(u)=0的阶次比起上式的阶次为低，所以当略去ε 项时， 在边界上，就不能完全满足原上式的边条件，这也就是普朗特和盖克拉分别在流体力学与薄壳理论中提出用边界层和边缘效应来补偿的主要思想。

既然以上两类问题在方程组的形式上具有大致相同的结构，我们可以猜测，他们的解的结构是否也具有某种类似呢？为此，我们首先来讨论比较简单的薄壳问题的解的性质。

对于相对厚的薄壳，或外力比较小因而变形也比较小，似乎求解比较容易，因为这时可以利用位移的微小性把方程线性化，即略去非线性项来求解。不过当这个条件一旦变化，我们就必须和非线性问题打交道，其中比较简单的问题就是薄壳的失稳问题。下图（图1中a、b）就表示薄球壳和薄柱壳在失稳后的变形情形。

图1

从图上我们清楚地可以看出，变形中出现了几条棱。无论从直接观察，还是借助于仪器测量，都可以发现在棱上既有弯曲变形又有伸缩变形。也就是说，在棱上是弯曲变形和薄膜变形混合作用的；而在薄壳的其余部分，要么主要是纯弯曲要么是纯薄膜变形（即无矩理论下的变形）。可以想象，而实际情况也正是这样，当板壳的厚度愈来愈薄时（即其厚度与平面的尺寸相比愈来愈小），整个板壳的变形会使上面的混合变形的部分愈来愈窄，即棱的宽度随ε愈来愈小，而其余区域中的变形状态与纯弯曲或纯薄膜变形相差也愈来愈小。把一张弹性的纸团皱，其受力过程是十分复杂的。我们看下图中两张褶皱过的纸，再把它们抚平，明显看出棱是很窄的，而没有棱的部分在变形时就是要么主要是纯弯曲，要么是纯薄膜变形（即无矩理论下的变形）。我们看出，图1d那张纸比较厚，所以棱比较稀棱的宽度较大，而图1c的纸薄，所以棱比较密棱的宽度也较小。

前苏联几何学家A.V.Pogolerov就曾经利用以上近似方法，以无矩和纯弯曲求解对应的变形区域，并且对棱邻近的变形能做渐近估计，具体计算过球壳和柱壳的屈曲后行为，对于壳体较薄的情形得到的结果和实验很接近。

根据对于以上薄壳变形的图像，我们可以对有相同构造的不过更为复杂的纳维-斯托克斯方程解的性质做如下的猜测：

  · 当流动的速度很小时，或者说当雷诺数Re很小时，纳维-斯托克斯方程可以线性化近似求解。这时的解，就是通常的低雷诺数流动。

  · 当雷诺数逐渐增大时，这时在固壁附近需要用边界层方程来近似，而在边界层之外，用理想流体的欧拉方程求解，会得到很好的近似。这种在边界层邻近用边界层方程近似补偿的方法正是1904年普朗特得到的近似方法的精髓。

  · 当雷诺数继续增大，流动会变得不稳定。这时会在流动的内部产生所谓的“内部边界层”，整个流动由内部边界层划分为若干区域，而每个区域内部，近似可以用由纳维-斯托克斯方程退化的P(u)=0或Q(u)=0来求解。雷诺数愈大则近似愈好。

  · 当雷诺数在继续增大，流动的不稳定性进一步发育，这时内边界层迅速增加同时厚度变窄，由内边界层分割的区域尺度也随雷诺数的增大而缩小。流动逐渐趋于无规则的湍流。这时，流动仍然是以内边界层分割的小区域，而每个小区域中的流动仍然是能够用退化方程来很好地近似。

  · 比较板壳和粘性流体，我们会发现后者要复杂得多。当板壳很薄时，问题近似可以化为一个二维问题。而粘性流体的问题是一个空间和时间的构形中发生的，是一个四维时空问题。在板壳问题中，所谓过渡层或边界层，是一条线；在粘性流体中，固壁边界层是一个面；而所谓的内边界层则是一个随时间变化的面，即一个三维时空构形。进而，问题的困难在于这些内边界层，并不是能够先验地确定的，而是随着整个问题的求解才能够最后确定。

最后，应当提及的是，以上的猜测对于板壳问题大致可以通过实验观察到，并且在比较简单的情形又有几何学家A.V.Pogolerov的论证。至于严格论证，则需要等待含小参数的非线性偏微分方程定性性质的研究，对于粘性流体问题则需要精细的测量和更细致的偏微分方程定性理论的发展。不过，谈何容易，目前不仅纳维-斯托克顿方程的解的存在性没有得到证明，连欧拉方程的解的存在性也没有得到证明。更难谈这些方程解的一般性质了。所以，它的存在性和光滑性才被列为七大难题之一，估计是不会很快能够解决的。

我们从网络上引用了几幅粘性流体流动的图像，大略来看，不难看出一些理想流体流动的小区域，其中有涡旋或均匀流动等等，这些小区域之间的过渡层就是我们所称的内边界层了。可以看出，雷诺数愈大内边界层愈薄，而分割的区域愈小。

图2

图3

图4

来源：武际可科学网博客，作者：武际可。