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[FFT] 我所认知的“频带参数”基础篇:傅里叶变换

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发表于 2022-8-12 14:44 | 显示全部楼层 |阅读模式

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“由简入繁易,化繁为简难。”

使用“频带参数”二十多年了,一直想聊聊这个话题,把事情讲清晰讲透彻。原本以为简单整理一下就能动笔,却发现头绪越来越多,需要照顾方方面面。终于下定决心,提笔落字。

“频带参数”来自“频带”这个概念;而“频带”概念来自于“频谱”;提到“频谱”,就不得不讲讲“傅里叶变换”。

介绍“傅里叶变换”的文章,有学术范的,有插科打诨派的,大家都可以找来看看。

我个人觉得,“傅里叶变换”不仅仅是数学方法。我们经常提到的“换位思考”,“换个角度看问题”,诸如此类的人生智慧,傅里叶老先生200年前用公式搞定了。老先生主要贡献是“传热理论”,笔者本科攻读“热能动力专业”,瞬间觉得,那些复杂的推导公式汽化消散了。

言归正传,还是要捋一下理论,然后表达自己认为最重要的一些观点。

01、认识“振动值”

工作口语里,我们经常说“去现场测振”。“测振”,就是“测量振动值”。这里明确简化一下,我们谈论的“振动值”,是一个维度上的值,即只有大小。
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然而,“振动值”和其他类型的值的表现差别特别大。我们把长期需要检测的工业测量值简单分一下类别:

  · 缓变量,例如温度、压力、流量等等,经常是数值稳定,没啥变化。定时抄个表,就能掌握情况。

  · 电气参数,例如电压、电流等,变化稍许快了些,但每秒也就50次(50赫兹),模式也简单(正弦波)。工程上研究很透彻,专门定义了“有效均方根值”等参数,对电气性能进行把控。谐波分析可能是最复杂的了。

  · 振动值,就复杂多变了。如有一系列振动值,用时间轴作为横坐标,就构成了“时域波形”。参考电气参数的分析处理方法,可以获得振动的“波形参数”,如“有效均方根值”、“峰值”、“峰峰值”等。但这远远不能达到预期效果。

02、观察“时域波形”

如果仔细观察振动的“时域波形”,就会发现,为了能尽量准确记录振动值的变化,“时域波形”上的数据点非常密集。

通常,1秒的时间至少要记录2500个数据点以上,才能满足后期频谱分析的最低要求(国际标准ISO 10816定义了1000赫兹的分析带宽)。振动分析系统,如XG 9900系统,1秒钟的数据采集能力是15800个点,才能充分覆盖传感器的有效带宽。要获取有价值的振动信号,无论对硬件指标,还是对软件性能,都有非常高的要求。
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“时域波形”通常显得很杂乱,难以找寻规律。这时就有必要变换观察视角了。通过傅里叶变换,可以将时域波形转换成一组正余弦的线性叠加,构成频域的频谱图。正余弦函数的特性,已经做了充分研究,研究透了也就简单了。傅里叶变换让复杂变简单,让频谱大放异彩。

03、“傅里叶变换”另类解读

用音乐来解释“傅里叶变换”,可能更加容易理解。声音文件就是非常典型的“时域波形”。而琴谱是什么呢?琴谱就是音乐在频域的显现。一个音符,代表了一个频率。中央C就是440赫兹。在恰当的时间点,用合适的力度,敲下准确的琴键,这一系列的弹奏,就构成了美妙的乐曲。

“时域波形”是沿着时间轴振动值,现实世界,振动值是仅有实数部分,没有虚数部分。经过“傅里叶变换”,转换成为沿着频率轴的复数,既有实数部分,也有虚数部分。复数可以等价用幅值和相位表述,这种形式更加被接受。所以,频谱就有频率、幅值、相位这三要素的概念了。从两个维度(时间、大小),变成了三个维度(频率、幅值、相位),“多”出一个维度,是不是有赚到的感觉。

04、大师的趣闻

傅里叶,全名是让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶(Baron Jean Baptiste Joseph Fourier),法国人,孤儿。一生教过书、从过政、跟着拿破仑非洲搞外交。一直醉心于数学物理的研究,近乎痴迷。
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傅里叶变换是傅里叶从事“热传导”研究时引入的数学方法:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时这一理论很有争议。拉格朗日(又一个大师,熟悉而陌生的名字)就挑战,让傅里叶解释方波的直角处导数突变如何解释。正弦余弦类三角函数是连续可导,导数也是正弦余弦函数,叠加不会产生突变。

争论持续多年。究竟两位大师谁是对呢?

正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号,这句话拉格朗日对。可以用正弦曲线来无限逼近地表示,逼近到两种表示不存在能量差,所以傅里叶也对。各位看官,科学界也“和稀泥”。直的也能给你掰弯了。
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傅里叶极度痴迷热学,走火入魔,认为“热”能包治百病。炎炎夏日,略感小恙,关紧门窗,穿上厚衣,围坐火炉......最后是“热射病”,还是一氧化碳,带走了这位大师,就无从考证了。

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