边界层网格参数计算

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划分CFD计算网格时常需要生成边界层网格。边界层网格需要指定的参数包括：第一层网格高度、增长率、层数、总厚度等，一般情况下只需要任意指定其中的三个即可。

此文来自网站fluidmechanics101，该网站还附带了一个边界层计算器（网址https://www.fluidmechanics101.com/pages/tools.html）。下面是该文章的翻译版，未校对，建议道友阅读原文。

文章来源：
https://www.fluidmechanics101.com/pdf/calculators.pdf”1

01、第一层网格高度

先计算流动雷诺数：

式中，ρ 为流体密度，U 为自由流速度，L 为特征长度，μ 为动力粘度。

然后使用平板上充分发展的湍流的经验公式来估计表面摩擦系数 (skin friction coefficient, cf)：

此公式取自Schlichting (1979) 对于Re<109 的完全湍流的研究。此公式可以用任何其他关于平板湍流的经验公式来代替。

计算得到表面摩擦系数后，可以计算壁面剪应力 (τω)：

然后可以从壁面剪应力计算摩擦速度 (uτ)：

最后可以重新整理y+的方程，以得到与壁面相邻的网格中心的高度 (yp)：

网格中心到壁面的距离由yp 给出，而网格的高度 (yH)为两倍的yp：

大多数网格生成器可以让用户控制垂直于壁面的网格节点间距，这里的yH 即网格生成器中输入的第一层网格高度 (First Cell Height)。

创建初始网格后，应使用该网格执行初始CFD分析。使用此公式的第一个网格高度只是一个估计值，需要使用来自此初始CFD分析的信息进行更新。这里公式计算的第一层网格高度只是一个估计值，因为表面摩擦系数的方程是特定流动场景的经验公式（在没有施加压力梯度的情况下平板上的湍流）。使用不同几何形状的实际CFD计算可能具有与平板不完全相同的表面摩擦系数。

02、增长率

除了计算第一层网格高度(yH) 之外，大多数网格生成器还需要指定垂直于壁面的增长率 (Growth Ratio,r )，其允许边界层网格沿法向膨胀。

在构建网格时，CFD中的常规做法是针对通过边界层厚度的多个单元。对于使用雷诺平均Navier-Stokes(RANS) 湍流模拟的空气动力学流动，CFD工程师通常在边界层厚度内生成15-30层 (N=15-30) 网格，因此可以使用这个标准来计算垂直于壁面的最大增长率。

首先，使用经验公式来估计边界层厚度δ99。若流动是层流，则根据Blasius公式可以得到厚度：

相反，如果流动是湍流，则使用另一种关系式计算厚度：

此关系式取自Cengel & Cimbala (2006, Section 10.6)。

下一步计算膨胀层网格的总厚度 (yr)，对于给定的层数N 和增长率r。可以将其与边界层厚度δ99 相匹配，以允许膨胀层覆盖边界层厚度。

增长率r 是两个连续网格的高度比。当r>1时，远离壁面的网格将逐渐增大。这里可以将前两个膨胀层的总厚度写为：

使用相同的逻辑，前三个膨胀层的总厚度为：

则N个膨胀层的总厚度为：

这可以用求和符号简明地写成：

这是一个几何级数的公式。使用恒等式可以很方便地重写几何级数：

可以在Wikipedia 或任何数学教科书中找到此转换方式。因此，膨胀层的总高度为：

我们希望膨胀层的总厚度等于（或大于）边界层厚度δ99：

此方程难以直接求解得到r。可以通过求数值解的方式得到r。如果估计得到增长率r，那么这个猜测的误差为：

可以将误差写为增长率r 的函数：

导致f(r)=0 误差的增长比率是膨胀层的总高度等于边界层厚度的增长比率。因此，可以使用求根算法来求解方程：

这里可以使用二分法或Newton-Raphson 求根算法。由于已知网格增长率(r) 必须大于1，并且最有可能小于2.0，因此可以使用1.01和2.0的初始猜测来约束求根算法中的根。

一旦求根算法收敛，解(r) 就是导致膨胀层等于边界层厚度的最大增长率。实际上，为了确保边界层网格厚度在物理边界层厚度范围内，通常指定一个小于此值的增长率。

03、最终层厚度

在使用膨胀层时，希望从最终膨胀层到自由流网格的过渡不会导致网格体积发生显著变化。这对于大涡模拟(LES) 尤其重要，因为亚格子粘度与网格体积成正比。因此，网格体积的突然变化会导致亚格子粘度的突然变化，这可能导致不准确和不稳定。

为了评估从膨胀层到自由流网格的网格体积变化，一个简单的方法是将最终膨胀层的厚度与自由流网格的长度尺度进行比较。最终层厚度为：

因为该计算中需要用到增长率r，因此最终层厚度计算在最后执行。

来源：CFD之道微信公众号（ID：FunDo-CAE），作者：胡坤。