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[其他相关] 我所认知的“频带参数”进阶篇:能量平衡

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发表于 2022-8-19 14:41 | 显示全部楼层 |阅读模式

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使用“频带参数”二十多年了,一直想聊聊这个话题,把事情讲清晰讲透彻。原本以为简单整理一下就能动笔,却发现头绪越来越多,需要照顾方方面面。终于下定决心,提笔落字。

“频带参数”来自“频带”这个概念;而“频带”概念来自于“频谱”。这一篇,我们来摆一哈“频谱”,获得不一样的理解。

进阶篇:能量平衡
“傅里叶变换”将“时域波形”转换成为“频谱”。根据信号是连续的还是离散的、周期的还是非周期的,分为四大类。

振动信号的采集方式和数据特性,决定其采用离散式的、有限或周期性的处理方法(DFT)。“快速傅里叶变换”算法(FFT)能大大降低DFT的计算复杂度,提高计算速度。所以,不知不觉间,振动检测领域把算法名称FFT当成了“傅里叶变换”的代名词。

01、概念梳理
“时域波形”指横坐标为时间,纵坐标为振动值大小的图形,反映在一段时间内振动值的变化。

“频谱”实际分为“幅值谱”和“相位谱”,这两种谱图的横坐标为频率,纵坐标分别为“幅值”和“相位”。通常我们说看看频谱,指的就是“幅值谱”。

日常较少使用“相位谱”,其最大的问题是缺少基准。由于“时域波形”可以用任意一段波形转换成为“频谱”,所以,“相位谱”上每个频率针对的相位,取决于这段波形的起点,起点不同,相位就不同。有些振动采集系统会增加“触发”信号,以此固定波形起点,从而使得“相位”固定下来。这时的“相位”就有了明确意义,并且可以进行趋势分析。

无论使用何种计算机语言,都比较容易找到相对应的FFT计算库函数。公式推导本人已经还给教授了,别来问我,我搞不定。

振动分析和故障诊断使用的是“幅值谱”中的“单边谱”,这是因为振动信号经过“傅里叶变换”后,谱图是某种形式对称的,可以进行折叠。这一点,在后文的举例中,可以获得直观的映像。

文章中将出现一些公式,方便理解和核验。

02、能量平衡
为把问题表达清楚,我们用一个尽量简化的模型。假设一个序列长度为N=16的数组:
1.png
为了计算方便,凑了一下,使 x0 数组的平均值为5。通常,“傅里叶变换”前,需要去直流成分,即把数组减去平均值。去直流成分后的数组变成:
2.png
对数组x进行“傅里叶变换”。
3.png
对复数取模,即复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值,构成数组y0公式如下:
4.png
随后,需要进行归一化处理:
5.png
相对应的“时域波形”和“幅值谱”请参考下图。
6.png
“傅里叶变换”是一种数学方法,保证“时域波形”和“频谱”可以相互转换。在转换前和转换后,物理特性是不能改变的。这其中,最重要的一条就是“能量”应该相等。更具体地讲,就是“有效均方根”相等。

从“时域波形”计算“有效均方根”的步骤:首先去除“时域波形”的直流成分,具体就是减去平均值;所获得的波形,每个值平方后相加,再取平均;最后,开方。用统计学的称呼,就是“均方差”或“标准差”。
7.png
计算“频谱”的能量的步骤:首先需要对所有复数取模;然后归一化,即所以复数的模除以序列长度N;归一化后的模,每个值平方后相加;最后,开方。
8.png
可以在表格中看到:
9.png

3、单边谱
“时域波形”经过“傅里叶变换”后,得到同样长度的一个复数序列。序列长度为N=16,除去第0点(直流分量)和第N/2=8点外,其余复数左右两两共轭。这是标准的“双边谱”。

振动分析类的工程实践中,我们使用N/2的数据就够了,称之为“单边谱”。许多文章里提到只要在数组上乘以“2”就可以了。我在这里详细解释一下这个“2”的物理含义。

从能量等效叠加的角度讲,两个相等的值合成在一起,等效能量值应该是:
10.png
如果定义“单边谱”的幅值,以“峰值”的形式体现,那么,需要再参照正弦波的“峰值”与“有效均方根值”的关系,再乘以根号2。所以,总体上,就是乘以2了。
11.png
具体到实例,表格中,Y数组的第1项到第7项,转成“单边谱”的时候,需要乘以2。而第8项,没有共轭对象,只需转成“峰值”,乘以根号2。

“单边谱”计算“有效均方根”时候,其公式就需要注意,将各个“峰值”转回到“有效均方根”。
12.png

04、直流分量

在第2节,我们进行“傅里叶变换”前,去除了信号中的直流分量。那么,如果不去除直流分量,会如何呢?
13.png
从表格中,可以看出,除了第0项受到影响外,后面的各项都没有受到影响。从能量角度而言,总能量是直流能量和交流能量的和。以“单边谱”的数据为例,直流的能量是5的平方25;如果从总能量33里减去25 的话,结果就是8,这也就是前面表格的结果。
14.png
“单边谱”请参考下图。
15.png
纯直流分量,并不会影响结果。那前面去除直流分量,有何意义呢?从计算角度,直流分量的存在,有可能会导致后期的计算中,出现第0项上的极大值。这样一个孤值,会极大影响整个算法的效率。直流分量,可以轻易用平均值去除,就不会给后续计算带去麻烦了。

而真正会导致误差的,应该是信号数据中存在的一次项、二次项等趋势项。“傅里叶变换”前,重要的步骤是消除趋势项。如果不消除这些趋势项的话,在低频区域的结果会受到影响。

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