为什么旋转陀螺可以保持不倒？

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陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，早在新石器时代，石制陀螺就已经出现，距今已有四五千年的历史。

时至今日，或结构简单、或装饰精美的陀螺陪伴着大多数人的童年时代，用两根手指头一捻或借助特定的发射器，各式各样的陀螺就可以在平地上旋转起来，往往过了很长时间才倒下。

那么陀螺是如何保持长时间转动而不倒的呢?

图1：各种陀螺示意图

陀螺可以看作是绕对称轴高速自转的刚体。

当陀螺不发生旋转的时候，我们把它放在不会发生变形的水平面上，陀螺会在重力力矩的作用下倒下（除非你可以把陀螺恰好沿竖直方向立起来，但是这在非理想情况下是不可能的）。

当陀螺发生旋转时，可以用角动量描述其运动状态。一般来说，质点的角动量的定义为质点到旋转中心的位矢与质点动量的叉乘，即角动量的方向与质点位矢和质点动量确定的平面垂直。类比动量守恒，可以得到角动量守恒定律，即物体不受外力矩或受外力矩的和为0时，物体角动量守恒。反之，若外力矩不为0，那么物体的角动量大小或方向会发生改变。

图2：角动量与各物理量的方向关系

由于陀螺的旋转对称性，我们可以将陀螺简化为如图所示的结构。陀螺的自转角速度为 ，细杆与地面的夹角为 。一般情况下，陀螺在以角速度自转时，其自转轴会以另一个角速度 绕着过O点的竖直轴进动。

图3：陀螺结构示意图

陀螺转动时，自转产生的角动量大小为 ，方向垂直于陀螺的上表面。重力对O点的力矩大小为M，方向垂直于向内。在重力矩的作用下，系统总的角动量 会发生改变，即：

由于重力矩 的方向和系统总的角动量的方向垂直，因此重力矩并不会改变角动量的大小，即：

因此重力矩的作用效果就是不断改变角动量的方向，而不改变其大小。这就是为什么陀螺可以在旋转状态下能够保持不倒，并且自转轴在稳定情况下以角速度 旋转。

图4：陀螺转动过程中的角动量

前面所分析的陀螺可以稳定自转的有一个重要的前提，那就是陀螺的自转角速度应当足够大。这个结论由我们的生活经验也可以得出。在陀螺无法转动倒下和稳定转动两种状态之间一定有一个临界状态，临界状态对应的陀螺的角速度我们可以称之为临界角速度。

那么这个临界角速度应当怎么求呢？

图5：陀螺转动过程中的受力分析

对 方向进行受力分析有：

其中自转轴的进动角速度可以表示为：

则可推出陀螺自转角速度满足：

这就是为什么我们转陀螺的时候，需要给它一个较大的扭矩，以便产生尽量大的初角速度的原因。

在现实生活中，利用高速旋转来保持稳定的陀螺原理已经被广泛应用。一个最重要的应用之一就是陀螺仪，其主要结构由一个转速极高的转子和两个平衡环组成，使得陀螺仪可以环绕三轴做自由运动。由于高速旋转物体的自转轴的指向是不变的，就可以将其作为一个“指南针”，在飞机上是很难找到一个参考物的，因此可以通过观察陀螺仪的轴向与竖直方向的夹角用以计算飞机的倾斜角度，对飞机的飞行姿态进行测量和控制。陀螺仪还被广泛应用于手机防抖、平衡车、VR眼镜等日常生活中，为我们带来极大的便利。

图6：陀螺仪的结构

图7 ：飞机上的陀螺仪表

此外，芭蕾舞运动员长时间旋转不倒、自行车的平稳前进、枪管膛线的设计使得子弹旋转射出都是利用了陀螺高速旋转保持稳定的原理。小小陀螺蕴含的道理，影响着人类生活的方方面面。

参考文献
[1]https://www.zhihu.com/question/275469968/answer/383943267
[2]https://zhuanlan.zhihu.com/p/535702864