比喻实例讲哲理，引玉之砖释小波！

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数据挖掘中要用到小波，如基于小波分析的时间序列挖掘、聚类、分类、相似性搜索等，我们研究团队也有些实践[1,2,3]，由于选修学生来自理工医文，基础有差异，部分学生反映学习小波像幼时背古诗文，不太爽顺，需要一些通俗解释。

这个任务有点难。相关书籍相当厚，例如教科书[4]有400多页，研究生用一个学期来学习，也是个不轻松的课程。利用周末，从讲课的PPT中取了一些素材，写成这篇博文。以学过小波而觉不爽的学生为参考对象、以教学方法讨论为目的，从大思路、远轮廓、以及哲理的角度给讨论开个头，为避开复杂公式和形式化描述，采用例子和比喻来做解释，例子和比喻不能取代数学老师的严格训练。疏漏之处，请朋友们指正。

小波三特点：一小、二波、三速降
图1中给出了典型的小波，1号中规中矩、3号像白鹤亮翅，正视着读者；4号是哈尔小波，体型方头方脚，尺度有胖有瘦；5号是墨西哥草帽，漂亮且对称。

图1

从外形看，它们像一粒珍珠落入了九寨沟那湖面如镜的镜湖，动静不大而信息丰富。首次冲击之后，激起的涟漪随时间很快地渐行渐小。这里说“像”而不用“是”，是因为有两个物理对象：中心点的上下振动随时间变化的曲线图，它在人的想像中（可视为小波）；水面波，由周围的质点振动形成，且传递能量，可被视觉感知。因为前者是后者的原因，所以波形相像。特征可描述为：一小、二波（有正有负，有起有落）、三速降。这些特性确保了小波分析的局部性，后两条还保证了在无穷区间上积分收敛，有如数学上的交错级数，有正有负，而绝对值渐行渐小，级数和不会无穷大。

下面给出一些类比的例子，与小波相比，事虽不同，但哲理同；旨在说明采用有语义、有内涵的坐标基，可以描述比较复杂的对象。下面由浅入深地表述。

几何坐标基底简单但缺乏语义
解析几何中，在直角坐标系X、Y、Z轴正方向上，各选一个单位向量，记为 i、j、k，向量V=a*i+b*j+c*k，对应从原点指向 (a,b,c) 那一点的向量。

在等式两边点乘k，立刻得到V*k=c；坐标值c 即v 在k 上的投影的长度，（a、b也有类似意义）计算、存储和信息交换都很方便。

但是，这可能误导初学者， 以为单位向量都是那么抽象、那么简单、没有内部结构、也没有语义。

带语义的7维象棋空间
中国象棋讲究“势”和“力”， “势”由棋子类型及其位置的综合表达，“力”是一个7维向量，（红方的）向量基底是<帅，仕，相，车，马，炮，兵>。向量 (1,2,2,2,2,2,5)表示开局时红方16个棋子的全部力量。中国象棋中，子型不能变换，所以各维度可视为正交，而向量 (1,1,0,1,0,0,0,0) 就表示只剩下一帅、一仕、一 车的残局了。此例中，单位向量有一点语义了。

人生追求的坐标系
考虑描述理想与追求的多维空间，设有坐标基底（ 土地（亩），牛，炕，车，房，妻子，儿子,职称，论文，成果，….），则向量 (30,1,1,0,0,1,1,0,0,….) 就表示了“三十亩地一头牛….”的那种低标准追求。

音乐的合成与分解
一场有众多乐器的合奏，在菜鸟耳中，也许只是一个好听的波W。而乐队指挥或骨灰级的发烧友能够准确地把W按音色个性分解，例如，分解出W=1*钢琴+3*提琴+1*长号+1*黑管+… ，在排练时，谁出了一点小错，都逃不过乐队指挥那明察秋毫的耳朵。

这是以复杂对象（如钢琴，提琴，长号等）为基元的分解，而不是傅里叶分解，傅里叶分解的基本单元是没有音色个性的Sin(ωt)，Cos(ωt)。ω 好像一盘东北农家名菜“大丰收”，而傅里叶分解把他们全磨成了带有频率标记的粉末，打乱后，再按频率标记分堆；已经品尝不到玉米、土豆、花生的单独的味道了。

用墨西哥草帽小波来做基向量
设有三个两两正交墨西哥草帽波U,V,W，根据其外形，依次给绰号为：胖帽，中帽和瘦帽。

图2

不难造一个波Y=3*U+4*V+5*W ，即Y 可以由三个胖帽，4个中帽和5瘦帽来合成。Y的形状比较复杂，普通人看到Y，难知其配方，好像按秘方配制的云南白药。而分解成3*U+4*V+5*W之后。就容易描述、分析、复制或重建了，下面是一个应用。

人工多喷口间歇泉的池面波分析和异地重建。为了简单，想象一个人工间歇喷泉，有三个涌泉水管，捆绑在一起（从而可简化为一个点涌），每隔N分钟，喷涌一次。精心设计喷口形状，使得喷涌波形（近似地）表达为胖、中、瘦的三个墨西哥草帽小波，且草帽的尺度（暂理解为水平方向的代表性尺寸）为w1、w2、w3。控制水压，使得三个涌泉口以一定的加权系数p.q.r喷涌，他们在时间上依次延时b秒（时间轴上的平移b）。

结果，观众看到了复杂多变的美丽喷泉和一池水波。如果知道w1、w2、w3,b,p,q,r，则池面波形可计算、可重复，可在异地重建。

现在反过来，设w1、w2、w3,b,p,q,r或其中一部分是秘密参数。用摄录像机记录下了池面波的视频，能够从视频分析出上述数值吗？换言之，能把池面的波分解为小波基底上的向量吗？

不知类似的分析能否在防洪堤坝的管涌分析方面找到应用？

小波压缩和信息编码
如果上述分解成功了， 就不需要存储和传送复杂的池面的波函数，而只需传递ww1、w2、w3,b,p,q,r等数值。如果系数p比q、r小10000倍，忽略它引起的失真很小，这就压缩了小波，在异地重建时可节约经费。如果秘密参数w1、w2、w3,b,p,q,r包含一条重要信息的编码，间歇喷泉就构成了喷泉密码或小波密码；外行看到的是美丽的喷泉，内行知道其传递的消息。

由解析几何常识，正交的基向量能使表达简单，怎样寻找正交的小波基呢？方法之一是：时间平移创造正交。

下图中有4个尺度一样的但带不同时间平移的Harr小波，现说明他们是正交的。

图3

两个函数U(t)、V(t) 的向量内积U*V= |U|*|V|cos(α)=∫U(t)V(t)dt（在一定的积分限上）。如果内积为0，表示α为直角， 称两函数（向量）正交或无关（没有缘分）。

看他们都长得端庄方正，似乎有缘，由于巧妙的延时，它们约会作内积时，你不为零我为零，我不为零你为零，总是相错，即使相约无穷长时间，内积还是为0；那匍匐在横轴上的长长尾巴，就像一声长叹：实在是有缘无分。显而易见，上面4个向量是两两正交的。

其他类型的小波要复杂一些。大致情况是：在适当的时移之下，两个小波的主部在时间上错开，而次要部分的绝对值渐行渐小，又正负抵消，以至内积为零，当然，有了直观启示后，还需要严格的数学计算。

所以，用适当的时移可以创造正交的向量集。

文章已经较长，剩下的内容还要长一些或许更有趣一些，拟在下文中回答下列问题：

  · 问尺度，常听说2K倍尺度，为什么2K倍尺度能创造正交小波？有直观解释吗？

  · 问显微，人说小波分析是数学显微镜？怎样显微，有直观解释吗？

  · 问基底，怎样直观地构造一个小波正交基底？有直观解释吗？

参考文献
[1] 陈安龙, 唐常杰, 元昌安, 朱明放, 段 磊,基于小波和偶合特征的多数据流压缩算法, , 软件学报 Vol.18, No.2。P177-184
[2]陈安龙, 唐常杰, 傅彦, 廖勇, 基于能量和频繁模式的数据流预测查询算法,软件学报,2008,Vol.19 ,,N0.6 PP,1413-1421
[3] Zheng Jiaoling, Tang Changjie, Qiao Shaojie, Yang Ning, Wang Yue, Chen Yu, Zhu Jun, MMIR: Mining Multi-scale Intervention Rules in Sub-Complex System, The 12th International Asia-Pacific Web Conference (APWeb 2010, pp369-371)
[4]成礼智等， “小波的理论和应用”（研究生教学丛书），科学出版社，2004.9

来源：唐常杰科学网博客，作者：唐常杰。