简谐振动是怎么跟圆周运动勾搭在一起的？

weixin

在上一篇文章《简谐振动的运动学方程是怎么来的？》中，我们讨论了简谐振动的运动学方程的多种推导方式，有高中教材基于科学探究的方式，也有费曼由动力学常微分方程结合直觉去推理的方式，还有赵凯华老先生基于机械能守恒定律的数学演算方式等等。

然而，简谐振动的美妙不仅体现在公式的多种推导上，它还有一些奇怪的关系，今天我们就把它们拿来闲聊着说说。

我们已经知道，用来描述振子位移s 随时间t 变化的关系可以写成下列正弦（或余弦）函数的形式，即

不仅如此，我们还会在书中见到另一个说法，说简谐振动的运动学方程还可以为表达为下面的复指数形式，即

看到上面这两种表述，不知大家是否感到奇怪，我觉得至少有两方面挺奇怪的：

  · 弹簧振子的简谐振动是个一维问题，而三角函数脱胎于三角学，是个骨子里有着二维“基因”的几何问题，一个一维的东西，怎么会用到二维的表达呢？它们之间是不是有什么几何上的联系呢？

  · 弹簧振子离开平衡位置的位移应该是个实数，表达式中怎么会出现虚数i 呢 ？

其实这事儿呀，得从欧拉公式和复平面说起。

美丽的欧拉公式

莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler, 1707-1783)

我们先说欧拉公式。欧拉公式一般表达为：

它被称为数学史上最美的公式之一。为什么这么说呢？因为当我们令上式中的θ=π 时，将会得到一个神奇的式子，即

它美在哪儿呢？因为它用无比精简的方式，把最重要的两个无理数 (π、e )、最重要的虚数 (i )、最重要的两个元 (0、1)、最重要的运算符 (＋) 以及最重要的关系符 (=) 都联系起来。这真的很了不起，让我们不禁感叹这是否是上帝创世宝典中那珍贵的一页。

欣赏完欧拉公式，我们这就要看看它与简谐振动到底有什么样的联系。

复数与复平面上的点

现在请先让我们关注欧拉公式的等号右边的部分。大家可以看到欧拉公式右边是两项之和，一项是实数cosθ，另一项是虚数i sinθ。在数学上，我们把这种形如z=a+bi（其中，a、b均为实数）的数称为复数。其中，a 称为该复数的实部，b 称为复数的虚部，i 称为虚数单位。

我们都知道，任意实数都可以用实数轴上的一个对应点来表示，那么复数可不可以呢？复数也是可以的。但是呢，复数跟实数不一样。实数只需要一维上的点就可以了，而要想确定一个复数，就得同时确定实部和虚部（即a 和b），所以复数必须由两根数轴构成的一个平面来表示，其中一个数轴用来确定实部的a，另一个数轴用来确定虚部的b。我们把这样的特殊平面称之为复平面 。

这样，任何一个复数z 都可以在复平面上找到一个点一一对应，如下图所示。

复平面上的点与复数一 一对应

上图其实用了两种坐标来表示复数：一种是用点 (x,y) 这种直角坐标形式；一种是用点 (A,φ) 这种极坐标形式，其中A 称为复数的模，φ 称为复数的俯角。

两种坐标描述同一件事，那么这两种坐标就必须有联系，对吧。大家很容易看出来，两种坐标之间的对应关系可以用下面的两个式子来反映，即

让这个点转圈圈

死点没什么好玩的，让它动起来才有意思。比如我们让这个点匀速转个圈儿。就像下面这样的。

复平面上的点在转圈圈

由于标出了点的横轴坐标和纵轴坐标，我们可以直观看到，在点匀速旋转的过程中，x 和y 在周期性地变化。它们一会儿取正值，一会儿取负值，一会儿变大，一会变小，而且二者的大小变化是相反的，颇有点儿正弦函数和余弦函数的做派。这可不得了，简谐振动不就是用正弦函数或余弦函数表达的吗？好家伙，是不是隐隐感觉到，匀速圆周运动好像和正余弦函数有那么点儿暧昧的味道。

为了更详细地刻画这个点的匀速圆周运动，我们用极坐标去表达直角坐标。假设在t=0时刻 (x,y) 点处在半径为A 的圆周的一个任意位置上，辐角为φ，令设点匀速转动的角速度为ω。那么在经历了时间t 之后，点转过的角度值就是θ=ωt+φ。这样的话，点在经历任意时间t 后的直角坐标位置，就应该是

圆周运动与简谐振动的联系

哈哈，上边这式子不就是简谐振动的表达式吗？为了直观看到匀速圆周运动的横轴和纵轴的变化情况，我制作了下面的这张图片和动图。图片中标示了任意时刻质点的位置坐标在分别横纵轴上的分量，可以看到，随着时间变化，这些分量在按照正余弦函数䣌方式在发生着变化。

匀速圆周运动的坐标轴具有简谐振动的特征

既如此，我便可以制作一个动图，把匀速圆周运动与简谐振动联系起来了。就像下面这样子：

简谐振动与匀速圆周的对应关系（纠正：图里的 cos 应该改为 sin ）

从动图中可以看出：

  · 当点绕半径为A 的圆周匀速运动时，它的横轴和纵轴随时间的变化情况，和简谐振动是一致的 ；

  · 振动函数中的ωt+φ 有了实实在在的直观感觉，φ 就是对应匀速圆周运动在零时刻时的初始辐角，我们称之为初相位，也就是质点的初始位置。而ωt 就是对应匀速圆周运动在初始辐角基础上多旋转的角度 ；

  · 所谓振幅，其实就是对应匀速圆周运动的轨迹半径。

在以前学习简谐振动的时候，由于没有这样的动图辅助理解，导致我总是搞不清楚相位和初相位是什么意思，以及为什么要取这个名称。现在好了，有了直观认知，对概念的理解就能变得更深一些。

简谐振动的复指数表示

下面我想再说说欧拉公式的另一个作用，就是可以用复数来表示简谐振动。我们把欧拉公式中的θ 换成ωt+φ 便得到如下形式：

这个式子说明什么呢？它说明，作为复平面上一点的复数Aei(ωt+φ)，它的实部或虚部可以用来表示一个简谐振动。为什么要这么干呢？因为用指数去讨论一些复杂问题时遇到的计算会比用三角函数来得方便。比如阻尼振动、受迫振动等问题，这就是后话了。我今后再说说这个。

最后的话：

  · 通过上面的闲聊，我们可以看到，欧拉公式就像一个粘合剂一样，把简谐振动跟圆周运动连接起来了，让我们可以建立不同运动类型之间的联系。而且，欧拉公式也给研究振动问题提供了一个别致的思路，在某些问题中可以用三角函数去分析，而在另一些问题中也许用复指数会更方便一些。

  · 数形结合的方法一直都是理解物理规律和概念的法宝，有时候一句话难以表达的概念，只需要给个场景，给个动画，概念的意义就可以轻松被get到，给人一种此时无声胜有声的快感。

来源：小熊慢慢说微信公众号（ID：Xiong-Talk），作者：小熊君。