古建筑屋顶设计的力学原理(一)

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我国古建筑的屋顶，常以“形式多样、装饰丰富、曲线柔美”等特点使其成为视觉焦点，有“建筑冠冕”之美称。《周易.系辞》云：“上古穴居而野处，后世圣人易之以宫室，上栋下宇，以待风雨”。“上栋”即顶部支撑房瓦的椽子、檩子及其总成，“下宇”即支撑“上栋”的房柱房梁的总称。可见，“遮风避雨”是屋顶的首要功能目标，因此，屋顶形态与房屋建造地区的降雨量、风力大小有很大的关系。

例如，以西双版纳为代表的南方多雨地区，为了防止短时间内的大降雨，房顶大多都做成高又尖的斜屋顶，以便于雨水快速地流向地面。而以新疆和西藏为代表的干旱少雨地区，不用担心暴雨倾盆，更多考虑如何让屋顶发挥多功能，平屋顶保证了人们可以在屋顶晒粮食和举行其它活动。

(a)西双版纳高屋顶

(b)新疆民居

图1 高屋顶与平顶房举例

图片来源：公众号 遗介（2022-08-08）

除了干旱和多雨地区，绝大多数人生活的气候没有那么极端，所以民居建筑都采用了有点坡度的坡屋顶。不过屋顶的坡度也并非任意的，设计不当会使得屋顶受载荷过大。为了说明屋顶坡度的影响，先忽略雨水的流动性，将其视为一种“固体”（可以想象为雪载荷）。

如图2所示，设有坡角度为θ 的屋顶，假设降水落在屋顶后（理想化为“固体”），受重力G 和摩擦力f 作用，将重力分解为沿屋面的分力F 和垂直于屋面的N，有

若降水（理想化为“固体”）与屋面之间的摩擦系数为μ，依据库伦摩擦定律可知，摩擦力f 的值为

图2 屋顶雨滴滑落示意图

因此，理想化的“降水”能够启动滑落的条件为

也就是说坡角度必须大于一定的值，“降水”才能启动滑落，否则，将停留在屋顶，无论这个“降水”的质量增加到多大也不会滑落，这种现象被称为自锁。为了避免自锁，在加拿大、北欧等高纬度地区，人们也喜欢建造很高的尖屋顶，如图3所示，这对于屋顶的降雪滑落是有利的。

(a) 加拿大建筑

(b) 北欧建筑

图3 高纬度降雪较多地区的屋顶

图片来源：网络搜索

但真正的降雨总是流动的，因屋面较宽，若只取中间部分作为研究对象，可将其视为明渠均匀流。所谓明渠流，是指在人工渠道、天然河道以及未充满水的管道等“渠道”中流动的水流，明渠流最显著的特征就是存在自由表面，由于自由表面上各点受大气压作用，因此明渠流各点的压力相同，也称为无压流动。均匀流则指流线为相互平行的直线，且流动参数不随时间发生变化。在这些条件下，屋顶的降水流动可以得到大大的简化。

为了分析上的简便，假设降水落在屋顶的初始时刻没有沿屋面的速度（实际上，降水下落速度可以分解出沿屋面的速度），在不同高度的两点，写出伯努利方程，有

考虑图4所示坐标系，明渠流压力相等，即p1=p2，设降水从最高点（屋顶顶点）下落到最低点（坐标原点），有v1=0，h1=Δh，h2=0，设相对高度为Δh，因此，上述伯努利方程可简化为

这一结果与物体自由下落时，利用能量守恒（势能转换为动能，mgΔh=mv2/2）求得的结果相同，这是因为伯努利方程本质上就表达了流体在流动时所遵循的能量守恒原理。从上式可以看出，如果屋顶坡度越大、相对高度Δh 就越大，就越能取得较大的流速，也就越容易被排走。

图4 屋顶坐标系

1638年，伽利略(Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei, 1564-1642) 在他的《两门科学的对话》中提出了一个十分有趣的问题，一个小球如果从相对高度为H，水平距离为L 的两点间滑落，问小球沿什么样滑落路径时，所耗费的时间最少？

该问题被称为最速降线问题，伽利略通过实验验证了沿弧线下落的小球比走直线的小球快，因此他认为速度最快的路径不是连接两点的直线，而是圆的一部分弧线。可惜的是，伽利略说直线路径不是最快路径对了，但说最快的路径是圆弧的一部分却错了。

半个多世纪以后，1696年大数学家约翰.伯努利(Johann Bernoulli, 1667-1748) 再次提出这个问题，并向欧洲著名的数学家征集解答。在两年里，最终获得了包括约翰.伯努利在内的共6个解答，他们分别由约翰.伯努利和他的哥哥雅各布.伯努利(Jakob Bernoulli‎,1654-1705)，牛顿(Isaac Newton, 1642-1726)，莱布尼兹，契恩豪斯(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, 1651-1708，发明了多项式变换的Tschirnhaus变换），洛必达(Guillaume de l'Hôpital, 1661-1704) 等6人。

其中，约翰的哥哥雅各布.伯努利的解答直接导致了一门新数学分支的诞生——变分原理。17世纪后期，正是微积分兴起的时代，当时人们已经知道了利用微分求解函数极值的方法。例如一元函数求导，当导数为0时，可得函数的极值点。雅各布.伯努将这个概念推广到了求解最速降线上。如图5所示，设A、B是竖直平面内连线不垂直于地面的两点，忽略阻尼，设计一条轨道（路径），使得小球从A到B所耗时间最短。

图5 最速降线问题

如果将小球下落路径视为函数，在平面内可表示为函数y=f (x )，显然这样的路径可以画出许多条。雅各布将路径函数视为自变量，将路径对应的小球下落时间视为因变量，写出一个函数的函数，称为泛函。然后，将函数求导求极值的思路应用到最速降线上，即求一条路径，其改变量趋近于0时，使得下落时间t 的改变量等于0。那么，该路径即为耗时最少的路径。

如图6所示，设小球从O点下落，OCGD是最速降线上的一部分，用y 表示小球下落的垂直高度，则下落高度y 后小球的速度为√2gy。

图6 雅各布.伯努利最速降线方案

假设CG为很小的微段，可以近似认为在CG上小球的速度为常数，设为v1=√2g|Hc|。同样假设GD也是很小的微段，可近似在GD上小球的速度为常数v2=√2g|HE|。假设G在水平方向有微小增量变为L点，则GL 为很小的微量，则路径OCLD为不同于OCGD的另一条路径。在CG上作M点 是的CM=CL，在LD上作N点，使得GD=ND。

当L趋近于G时，∠LMC和∠LNG均趋近于90°，则有

则

同时

则

这里ds1 表示CG，ds2 表示LD。它们分别在x 轴上投影，分别为dx1 和dx2。因此，可求得MG和LN上所耗时间分别为

根据微分为0求极值的思路，这里的自变量成为两条相邻很近的路径，如MG何LN，当两条路径趋近0时，时间的改变量为0，则可得到所耗时间的极值。为此，令

化简后，

上式很有意思，如果吧余弦换成正弦（同样成立），就会得到与光的折射规律的折射定律。约翰就是用了折射定律导出最速降线的。将下两式的结果带入上式

有

说明最速降线上，小球无论在什么地方，由上式表示的比值保持为常数。当小球下落到最低点，下落高度为H，路径切线为水平方向，有

因此，有

又由于ds=(√1+y '2)dx，上式可表示为

上式即为最速降线的微分方程，它的解是一条摆线，即圆上一点在圆滚动时产生的轨迹，即

式中，φ 为参数，r 为摆线圆的半径，且r=H/2。

如图7所演示了三条小球下落，中间轨道满足最速降线，其达到最低点的速度也最快。我国很多地方传统建筑的屋顶也多为曲线，如图8所示的乔家大院屋顶，实际上达到了使得降水能够在最短的时间内起到排水的效果。

图7 最速降线演示

来源：网络

图8 山西乔家大院的曲线屋顶

来源：网络

对于屋顶《周礼.考工记》中有这样的描述：“轮人为盖……参分弓长，以其一为之尊，上欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水疾而霤（溜）远。”这是古代匠人在制作车盖过程中总结出的排水规律，也是公认的建筑屋面排水规律总结（疾，快；溜远，离开房屋远）。古代建筑多用木材，出檐本身目的就在于避免木材淋雨，建曲屋面达到“吐水疾而霤（溜）远”自然可以起到避免淋雨、防潮防腐的功能。

宋代《营造法式》规定了屋顶坡度及屋盖曲面线之方法，如两椽小屋，为二与一比之坡度，最陡峻者如殿阁，为三与二比之坡度，其余厅堂廊屋等各有差，谓之举高。其曲线则按每榑中线，自上每缝减去举高之十分之一，次缝减二十分之一等等。愈低而减愈少，然后联缀以成屋顶断面之曲线，谓之折屋。

清工部《工程做法则例》将举折更名为“举架”。宋之举折，先定举高，然后自上而下，每榑缝下拆少许，而成曲面线。清式则自下起，第一步五举（即第一步举之高等于第一步水平长度之十分之五）；第二步六举，第三步六·五举，第四步七·五举乃至九举等，随成曲面形式，如图9所示。

(a) 宋式建筑屋顶举折

(b)清式建筑屋顶举架

图9 梁思成《营造法式》与清工部《工程做法则例》插图局部

来源：《学习强国》中国建筑史 2018.12.25

如果考虑雨水有一定的黏滞阻力，即阻力随速度变化而变化（通常情况下速度越大、阻力也越大），此时伯努利方程将变为下式形式

等号右边多了一项w，表示流体元从位置1到位置2时，单位体积的流体克服黏滞阻力所做的元功。研究表明，流体黏性是黏性阻力的重要影响因素，对于中低速流体中的球形物体，所受到的黏性阻力系数可表示为

其中，η 为液体黏度系数，r 为小球半径。则最速降线随黏滞阻力系数的变化关系如图10所示。

图11 最速降线随黏滞阻力系数的变化

（周嘉炜等.力学与实践,2011）

从图中可以看出，当黏滞阻力较小时（如μ=0.2），最速降线会比无阻力最速降线变的更加弯曲；当黏滞阻力较大时（如μ=1.0），最速降线会比无阻力最速降线变得更加平缓；当黏滞阻力μ=2.0时，最速降线接近于一条直线。这说明最速降线的路径与阻力特征有很大的关系。

研究人员通过对比研究，发现我国古建筑的屋顶曲线非常接近于考虑黏滞阻力的最速降线。如图12(a)所示的天津蓟县独乐寺山门屋面曲线，以及图12(b)所示山西晋祠圣母殿屋面，从中可以看出当考虑黏滞阻力系数μ=1时，屋面曲线十分接近于最速降线，或者说只要调整黏滞阻尼力系数一个合适的位置，屋面曲线将会成为最速降线。

(a) 天津蓟县独乐寺山门屋面折线分析

(b) 山西晋祠圣母殿屋面折线分析

图12 古建筑屋面与考虑黏滞阻力的最速降线更加吻合

（赵晓峰,葛笛.古建园林技术,2021.）

必须承认，中国古代并没有发展出像西方那样的近代科学，古代工匠也肯定没有最速降线的概念。但当最速降线与屋面重合的那一瞬间，我坚信古代某些用于指导工程设计的思想一定是科学的，当伯努利兄弟、牛顿、莱布尼兹等大科学家走向“最速降线”的山巅之时，在这里，竟然与中国古建筑的屋顶不期而遇。

作者注：（下周说说古建筑屋顶设计的风载荷原理）感谢天津大学王振东教授对我的帮助和指导！

参考文献
[1] 张俭. 传统民居屋面坡度与气候关系研究[D].西安建筑科技大学,2006.
[2] 赵晓峰,葛笛.从黏滞阻力型最速降线看古建筑凹曲屋面成因[J].古建园林技术, 2021(06):73-77.
[3] 尤明庆.最速降线求解和摩擦力影响的研究[J].河南理工大学学报(自然科学版), 2005(01): 83-88.
[4] 周嘉炜,曹炳阳,过增元.具有黏滞阻力时的最速降线[J].力学与实践,2011,33(03):11-14.

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。