弹性力学基本方程的矩阵表示

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01、应力向量
物体内一点应力状态由下面六个应力分量完全确定，且六个分量为x、y、z的函数。即：σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx。

将六个应力分量按一定顺序排列成一向量，表示为

{σ} 称为应力向量，对平面问题，{σ}=[σx   σy   τxy]T。

02、内变向量
物体内一点的应变状态由六个应变分量完全确定，且六个分量为x、y、z的函数。将六个应变分量按一定顺序排列成一向量，表示为

{ε} 称为应变向量，对平面问题，{ε}=[εx   εy   γxy]T。

03、位移向量
物体内一点的位移由沿着x、y、z的三个位移分量u、v、w表示，且u、v、w为x、y、z函数。将三个位移分量按一定顺序排列成一向量，表示为

{f } 称为位移向量，对平面问题， 。

04、体积力向量
设Fbx、Fby、Fbz 分别为体积力沿x、y、z轴的投影，将三个量排列成一向量，表示为

{Fb} 称为体积力向量，对平面问题， 。体积力简称体力。

05、面积力向量
设FTx、FTy、FTz 分别为体积力沿x、y、z轴的投影，将三个量排列成一向量，表示为

{FT } 称为面积力向量，对平面问题， 。面积力简称面力。

06、弹性力学平衡方程矩阵表示
弹性体在直角坐标系下的平衡方程为

表示为矩阵形式为

记： ，[L] 称为偏微分算子矩阵，上式简记为

07、弹性力学几何方程矩阵表示
小变形时，弹性体几何方程为

表示为矩阵形式为

上述弹性体几何方程简记为

08、弹性力学物理方程矩阵表示
物理方程为

表示为矩阵形式为

上式简记为

其中：

式中，[D] 称为材料的弹性矩阵。

09、变形体虚位移原理
变形体虚位移原理可叙述为：变形体平衡的条件为外力在虚位移上的虚功等于内力在虚应变上的虚功。

虚位移分量为u *、v *、w *，表示成向量为 。

虚应变分量为εx *、εy*、εz *、γxy *、γyz *、γzx *，表示成向量为

于是，体力虚功为∫v{f *}T{Fb}dV，面力虚功为∫A{f *}T{FT }dA，内力虚功为∫v{ε*}T{σ}dV。

变形体的虚功方程为

原文链接：
https://blog.csdn.net/Su_jinshi/article/details/104197873

来源：CSDN博主「塑今是」的原创文章