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[其他相关] 网球拍效应与欧拉动力学方程

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发表于 2022-10-17 13:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1985年,为了拯救当时出现故障的苏联空间站礼炮七号,派出了两名宇航员进行抢修。在完成任务之后,其中一名宇航员贾尼别科夫打开了从地球带来的物资。这些物资是用一个翼型螺母锁紧的,当这个螺母被松开并继续在空间站漂浮旋转的时候,贾尼别科夫发现它会周期性地掉转180度。后来,这个现象被称为贾尼别科夫效应。

事实上,我们在地球上也能重现该效应。以网球拍为例,我们人为地给它设定三个相互垂直的主轴:一是沿着把柄的主轴,二是垂直于把柄并在网的平面内的主轴,三是垂直于把柄和网的主轴。当我们让网球拍绕着一或三主轴旋转并把它抛入空中时,拍子的旋转是稳定的,它只会绕着初始轴旋转。当我们让网球拍绕二主轴旋转并抛入空中时,它的运动是不稳定的,最后会演变成绕着三个轴旋转。所以,贾尼别科夫效应又叫作网球拍效应或中间轴效应。
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在1991年的时候,一篇公开发表的文章才解释了这种效应。我也看过一些解释这种效应的科普文章和视频,他们要么用纯文字进行解释,要么直接给出欧拉动力学方程的结果进行解释。今天,我们从推导欧拉动力学方程开始,逐步给出这种效应的解释。

欧拉动力学方程推导
首先,我们要知道力矩和角动量的关系。如果你已经忘了,那么我们可以回想一下力和动量的关系:力等于动量对时间的导数。同样,力矩等于角动量对时间的导数。
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等式的左边是力矩M,我们可以直接写出它的分量形式。
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等式的右边是角动量对时间求导,虽然它计算比较复杂,但我们仍然可以写出分量形式。
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接下来这里有一个问题,后三项是基本矢量随时间的变化,它们取决于我们所取的坐标系。在这里,我们所取的是刚体坐标系。在刚体坐标系下,基本矢量是随着刚体的旋转而旋转,所以基本矢量随时间的变化就是角速度ω叉乘这个基本矢量。如果还不明白,可以想想高中时是怎么推导圆周运动的加速度。
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根据矢量叉乘的法则,最后一项我们可以写成以下形式。
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现在,整个式子变得非常复杂,但是如果我们代入角动量、角速度和转动惯量的关系,式子就会变得非常简单。在惯量主轴下,转动惯量不会随着旋转变化,我们有以下关系:
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把它代入上面的式子,最终我们会得出这样的结果:
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最后,我们让每个分量的力矩和每个分量的角动量对时间求导相等,就得到著名的欧拉动力学方程。
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网球拍效应解释
解释网球拍效应一个很重要的点是理论与现实的差距。理论上,我们可以让网球拍绕任何一个轴稳定转动,而绕另外两个轴转动的角速度永远是零。但现实中,我们无法做到这一点,总是会有一些扰动破坏这种理想状态。现在,我们要研究的是,给了微小扰动之后,这个扰动会不会被放大。

我们假设转动惯量1>转动惯量2>转动惯量3,并且网球拍抛到空中后没有任何力矩。首先研究绕主轴1旋转的情况,此时ω1恒定,它对时间的导数也基本为零,而ω2和ω3受到扰动而出现微小的角速度。现在,对欧拉动力学方程的第二个方程求导,并把第三个方程代入其中,我们可以得到:
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根据转动惯量的大小,我们可以知道k<0,是我们很熟悉的波动方程,微小的扰动成正弦变化不会被放大,因此绕主轴1旋转是稳定的。同样的道理,我们也可以得出绕主轴3的转动是稳定的,这里就不再计算。

但是,当绕主轴2旋转时,同样的道理我们可以得到:
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此时,我们知道k>0,因此扰动会被放大,角速度会增加。也就是说绕主轴2的转动是不稳定的,一个小扰动就会使网球拍发生翻转。

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