[转帖]稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

cora

　　Posted by: 若愚

　　Posted on: 2001-11-17 11:26

　　作者对钢结构稳定理论进行了一些分析，发现结构稳定承载力与结构的自振频率、结构的失稳模态与结构的振型有本质上的联系。这些联系为钢结构的定性分析带来益处。

　　结构的基本频率仅与结构的刚度分布和质量分布有关，外界干扰力大小只影响振幅的大小，而不影响基本频率的大小。结构稳定承载力与结构的刚度分布有关，而与外界干扰力大小无关。影响结构刚度的因素包括构件截面尺寸，初始内应力及边界约束条件等。结构基本频率和稳定承载力是其固有特性。一旦结构的刚度分布和质量分布确定，总可以求解唯一的基本频率和稳定承载力。

　　在近似求解基本频率时，先选择形状函数，通过能量守恒或最小势能定理求得。“其求解精度完全取决于振型形状函数的选取。原则上只要满足几何边界条件，形状函数可以任意选择，即形状函数仅与具体边界条件一致，但对不是真实形状的任意形状函数，为了保持平衡，就必须有附加外部约束作用，这些附加外部约束将使体系变得刚硬，自由度减少，使应变能增加，从而使基本频率计算值增大。由此可见，用真实振型求得的基本频率是用能量法所得频率中的最小一个”

　　即求解精度取决于形状函数接近真实的振型函数的程度。

　　事实上，用能量法求解稳定承载力时，上述叙述也是恰当合理的。由结构稳定理论可知，其求解精度完全取决于挠曲形状函数的选取。原则上只要满足几何边界条件，挠曲形状函数可以任意选择，即形状函数仅与具体支承条件一致，但对不是真实形状的任意形状函数，为了保持平衡，就必须有附加外部约束作用，这些附加外部约束将使体系变得刚硬，自由度减少，使应变能增加，从而使计算稳定承载力增大。由此可见，用真实振型求得的稳定承载力是用能量法所求得中的最小一个。求解精度也取决于挠曲线(形状函数)接近真实挠曲线的程度。

　　精确的基本频率和稳定承载力总是和真实的形状函数相对应。换句话说，结构在失稳时的挠曲线和自振时基本振型曲线是完全一致的。

　　为方便对比分析，以质量和惯性矩均匀分布的简支梁为例。(略)

　　由最小势能定理可以知道，在所有满足几何边界的可能位移中，真实位移总是使得结构体系势能最小。这是自然界存在的客观规律，“水往低处流”就是这个道理。结构在失稳时的挠曲线和自振时的振型曲线是完全一致的，这种一致性决定了 挠曲线和 振型曲线之间的相互联系。对于复杂结构,以上的分析可供借鉴。结构体系的定性分析，例如高而窄的梁可能发生侧扭屈曲、绕弱轴屈曲、绕强轴屈曲，鉴于上述理由，其振型可能出现如下情况，第一振型为侧扭振动，第二振型为绕弱轴振动，第三振型为绕强轴振动。又如网壳结构，若知道其基本振型，就可以知道结构失稳时的失稳模态，这对结构的概念分析带来方便。

　　结构理论分析的目的在于工程应用。由以上的分析可以得到一些启示：

　　当结构布置相同时，基本频率与最小稳定承载力之间存在数值关系，基本振型与失稳模态是一致的，可以方便地相互借用对方有关概念。其本质原因是最小势能定理起作用。结构在外界荷载(静力、动力、狭义、广义)作用下，其变形总是使得结构体系势能最小。当需要改变结构的基本频率时，可以采用改变稳定承载力的方法，如改变边界约束条件、设置支撑、选取适当的截面形式，施加预应力等。

　　任何批评和建议均将得到诚挚的欢迎!

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 成钢

　　Posted on: 2002-01-03 17:25

　　结构稳定承载力(理想结构的临界荷载)P与结构的自振频率w确实存在联系，就是两者之间存在一条相关曲线。P达到最大值Pmax时，w=0(这就是动力法求临界荷载的依据);P=0时，w达到最大值wmax(这就是不考虑P-Delta效应时的自振频率，W=wmax)。

　　以下两个论点值得商榷：

　　>一旦结构的刚度分布和质量分布确定，总可以求解唯一的基本频率和稳定承载力。

　　荷载分布也是一个重要影响因素。

　　>换句话说，结构在失稳时的挠曲线和自振时基本振型曲线是完全一致的。

　　>当结构布置相同时，基本频率与最小稳定承载力之间存在数值关系，基本振型与失稳模态是一致的，可以方便地相互借用对方有关概念。

　　只有在极少数情形下，比如两端简支的压杆，基本振型与失稳模态是一致的;多数情形下，基本振型与失稳模态不一致。

　　结构频率与荷载分布

　　Posted by: okok

　　Posted on: 2002-01-03 18:12

　　》》一旦结构的刚度分布和质量分布确定，总可以求解唯一的基本频率和稳定承载力。

　　》荷载分布也是一个重要影响因素。

　　赞同成钢兄。比如，有无雪荷载，附加荷载、活载的大小分布等都对结构的基本频率等有影响。

　　结构分析时，应将雪荷载、活荷载等除以系数g(N-M单位时取9.8)，作为相当质量。并施加在与荷载相应的质点上。

　　如果若愚君所指“质量”为包括荷载折算后的“质量”，则不矛盾。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 成钢

　　Posted on: 2002-01-03 21:16

　　>>荷载分布也是一个重要影响因素。

　　>赞同成钢兄。比如，有无雪荷载，附加荷载、活载的大小分布等都对结构的基本频率等有影响。

　　>结构分析时，应将雪荷载、活荷载等除以系数g(N-M单位时取9.8)，作为相当质量。并施加在与荷载相应的质点上。

　　>如果若愚君所指“质量”为包括荷载折算后的“质量”，则不矛盾。

　　同意okok的看法。补充说明几句：

　　(1) 考虑P-Delta效应时，结构的自振频率与荷载大小有关。

　　(2) 荷载作用位置和方向不同，结构的失稳类型有可能不同。以一根两端铰支压杆为例，根据有无横向荷载(或端弯矩)，区分为轴心压杆和压弯构件(偏心压杆)，两者失稳类型很不同。

　　(3) 荷载作用位置不同，结构稳定承载力有可能不同。以焊接工字型钢梁整体稳定性为例，横向荷载作用在上翼缘比作用在下翼缘更为不利。再以一根悬臂柱为例，轴向压力全部作用在柱顶比部分作用在柱顶、其余作用在柱跨中更为不利。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 若愚

　　Posted on: 2002-01-06 15:27

　　这篇文章是我学习《结构稳定理论》和《结构振动理论》的体会。也没有经过严密的推导，

　　仅进行过等截面简支梁的对比分析，分析表明：这种联系是客观存在的，

　　原因在于最小势能定理，天意如此。

　　基本频率与外力有关，通过调整琴弦的松紧程度来调整频率，

　　美妙的音乐娓娓而来。

　　外力产生内应力(相当于残余内应力)，影响了结构的刚度，从而影响临界承载力和基本频率。

　　若将外荷载(端弯矩等)视为初始边界条件(力学条件)，绕曲线与振型曲线会一致。

　　事实上，现实的振型曲线是多个振型曲线的组合。现实的绕曲线是多种绕曲线的组合。

　　钢结构设计规范中T形构件绕对称轴失稳的计算长度考虑了扭转效应，

　　可以推测，T型构件振动时会有扭转效应。

　　同意okok兄和成钢兄的看法。

　　(1) 结构的自振频率与荷载大小有关。不管是否考虑P-Delta效应，外荷载产生内应力，内应力相当于初始残余应力。

　　(2) 荷载作用位置和方向不同，结构的失稳类型有可能不同。以一根两端铰支压杆为例，根据有无横向荷载(或端弯矩)，区分为轴心压杆和压弯构件(偏心压杆)，两者失稳类型很不同，两者的振型曲线也不一致。对有端弯矩的压杆，稳定绕曲线与同样边界条件下的构件的振型曲线是一致的。

　　(3) 荷载作用位置不同，结构稳定承载力有可能不同。以焊接工字型钢梁整体稳定性为例，横向荷载作用在上翼缘比作用在下翼缘更为不利。一样，对抗振(抗动荷载)也不利。

　　希望得到两位进一步的指导，谢谢。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 成钢

　　Posted on: 2002-01-06 17:01

　　>基本频率与外力有关，通过调整琴弦的松紧程度来调整频率，美妙的音乐娓娓而来。

　　说得妙极了!

　　>外力产生内应力(相当于残余内应力)，...

　　>不管是否考虑P-Delta效应，外荷载产生内应力，内应力相当于初始残余应力。

　　就此发表个人看法。初始残余应力概念不够确切，我们通常用“残余应力”或者“初始应力”的概念。

　　一般来说，“残余应力”是指构件内部自相平衡的应力，不是由外力作用引起的，而是由于加工过程中钢材散热不均匀引起的。热轧型钢构件中，钢材在高温下轧制成型后，一般自由冷却，由于不均匀冷却会产生残余应力。在某一截面上，一般在冷却较慢处产生拉应力，冷却早的地方产生压应力。焊接截面构件中，焊缝局部受到剧烈的高温作用，不均匀的加热和冷却过程，使构件产生焊接变形和焊接残余应力。焊接残余应力分为纵向应力、横向应力和厚度方向的应力。在某一截面上纵向残余应力分布一般有以下规律：焊缝及其附近的钢材由于在冷却时不能自由收缩，受到约束而产生拉应力，离焊缝较远的部位产生压应力。

　　在预张力钢结构中，由于张拉某些索，比如上帖提到的琴弦，会在结构各构件中产生“初始内力”，相应的应力称为“初始应力”。一般来说，“初始内力”是指结构中自相平衡的内力，不是由外荷载作用引起的。

　　在预张力钢结构中，外荷载作用产生附加内力。初始内力+附加内力=总内力。总内力对结构刚度有影响。

　　我猜想，若愚网友帖中是指“初始应力”。

　　******

　　原文中"贴"纠正为"帖"。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 若愚

　　Posted on: 2002-01-07 00:02

　　“我猜想，若愚网友贴中是指“初始应力”。”猜对了，我表达不准确、不规范.

　　“结构稳定承载力(理想结构的临界荷载)P与结构的自振频率w确实存在联系，就是两者之间存在一条相关曲线。”这条相关曲线在那里可以找得到，我至今没有看到这方面的文章。

　　另外，1、这种相关性有没有进一步研究的价值。

　　2、对框架、连续梁等实际结构分析如何进行。

　　3、悬挑梁的整体稳定分析如何进行，如果可能，通过动力分析来推导稳定承载力。

　　请指导。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: sjtu79

　　Posted on: 2002-03-14 18:48

　　很有趣的问题。

　　在简支粱的固有频率的计算中,轴向载荷对固有频率有影响。拉伸将提高固有频率,压杆的固有频率比不计轴向载荷时低。这在有关振动的书中有介绍。横向载荷对固有频率没有影响。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: sjtu79

　　Posted on: 2002-03-15 20:35

　　对振动问题而言，下面考察3个简支梁例(讨论限于一阶振动模态)，可说明一些问题：

　　1 梁上作用有横向集中力或分布力，如果把这类力理解为载荷的话，这种载荷不影响简支梁的固有频率。

　　2 设想梁中央有一偏心转子的电机。这时梁受到电机重力和偏心转子离心力的作用。对重力而言，由于电机质量参与了梁的振动，降低了梁的固有频率，电机质量必须考虑。而离心力迫使梁发生强迫振动，但不影响固有频率。

　　3 设想梁上有一橡胶材料并支持一块板，板上有积雪。静力计算时，橡胶，板和积雪的重量可作为载荷计算其扰度，但不能直接用其质量计算其固有频率。设M1,K1为梁的质量和刚度(可理解为弹簧系数)，M2橡胶，板和积雪的质量，K2为橡胶的弹簧系数，则这是一个典型的主从耦合系统。其固有频率受这4个参数的影响。

　　“通过调整琴弦的松紧程度来调整频率，美妙的音乐娓娓而来”非常形象地描述了轴向载荷对梁固有频率的影响。

　　有一个想请教的问题是：

　　梁在失稳状态下，其振动频率和振动模态将是怎样的呢?

cora

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 若愚

　　Posted on: 2002-03-18 00:14

　　最近，天天做稳定方面的东西，忙得很。

　　稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型的联系，成钢兄已经分析得很透彻。

　　这种关系只给概念分析带来好处，数值上的联系是偶然的。

　　1、对，若将荷载作为结构体系的一部分，此时的频率将不同。

　　2、“而离心力迫使梁发生强迫振动，但不影响固有频率。”此时，频率应理解为考虑电机质量。

　　3、桥梁上也有这种情况。

　　4“梁在失稳状态下，其振动频率和振动模态将是怎样的呢?”

　　超出了我的能力范围。失稳时，若为弹性，刚度大些，若为弹塑性，刚度小些。弹塑性程度不一样，得出的振动频率不一样。

　　事实上，失稳过程是瞬间完成的，我已无法想象刚度和模态会成什么样。

　　见笑了，请指正。谢谢。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: sjtu79

　　Posted on: 2002-03-24 21:27

　　谢谢若愚网友的回答。

　　在一阶失稳前，可直接推导考虑轴向载荷的梁振动微分方程，在一阶失稳(弹性，弹塑性或塑性失稳)的后失稳阶段(某些结构的二阶失稳前)，如想考察振动特性，也许是一有趣的问题。

　　见笑。

　　下面的回答值得商榷：

　　1、对，若将荷载作为结构体系的一部分，此时的频率将不同。

　　即使横向荷载作为结构体系的一部分，如无质量存在，也不影响系统的固有频率。

　　回复： 回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系　　Copy to clipboard

　　Posted by: 罗罗

　　Posted on: 2002-04-05 08:23

　　sjtu79：

　　在简支粱的固有频率的计算中,轴向载荷对固有频率有影响。拉伸将提高固有频率,压杆的固有频率比不计轴向载荷时低。

　　不仅仅如此，对于失稳/屈曲也是同样。

　　原因，我以为承受着轴向外荷载的结构/构件的刚度是变化的.线性应变刚度矩阵是固定的，而非线性几何刚度矩阵随着轴向外荷载的变化而有规律地改变。刚度的变化影响了结构的固有频率和屈曲临界荷载。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: sjtu79

　　Posted on: 2002-04-06 20:17

　　罗罗网友，我完全赞成你的看法。

　　实际上，对这一问题，我的第一贴就表明了我的观点，我想要说明的是，对于无质量载荷问题，轴向载荷对固有频率有影响而横向荷载对固有频率无影响。

　　不过，轴向载荷对固有频率的影响不必用非线性几何刚度矩阵来解释，推导考虑轴向载荷的梁振动微分方程并求解，可说明问题。

　　回复(2)：稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 成钢

　　Posted on: 2002-04-16 18:37

　　sjtu79 wrote:

　　有一个想请教的问题是：

　　梁在失稳状态下，其振动频率和振动模态将是怎样的呢?

　　这一问题很有启发性。以下讨论假设按小挠度理论用有限元法求解。

　　以双轴对称截面轴压杆为例，压杆弯曲屈曲时，其(屈曲平面内)横向振动频率为零，质量矩阵不参与计算，对(临界方程对应的)矩阵特征值问题的解没有影响，此时求出的特征值和特征向量分别对应其屈曲荷载和屈曲模态，不能求出这种状态下的振动模态。

　　此时，心中冒出一个疑问，求出“屈曲时对应的振动模态”到底有何意义?如果一定要求出这种振动模态，恐怕只好求助于求极限的方法了。假设轴压力N→临界荷载Ncr-，求得一阶振动频率Ω1→0+和相应的振型，后者即为所求。

　　通过类比，双轴对称截面轴压杆扭转屈曲时、单轴对称截面和非轴对称截面轴压杆弯扭屈曲时、以及梁弯扭屈曲时，也有类似的结论。

　　回复(2)：稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 成钢

　　Posted on: 2002-04-16 19:03

　　sjtu79 wrote:

　　不过，轴向载荷对固有频率的影响不必用非线性几何刚度矩阵来解释，推导考虑轴向载荷的梁振动微分方程并求解，可说明问题。

　　个人认为，两位网友的阐述没有本质矛盾。罗罗从梁柱有限元的角度来阐述，既适用于单根构件，包括压弯构件和拉弯构件，也适用于杆系结构。sjtu79从求解微分方程的角度来阐述，一般只应用于单根构件。

　　以下概念可能需要澄清：

　　“考虑轴向载荷的梁”的说法是不够严密的。通常“梁”不考虑轴力作用(没有轴力或轴力很小)。一根构件在(横向荷载引起的)弯矩和轴力共同作用下，我们要把它当作压弯构件或拉弯构件来分析和设计。在有限元法中，要采用梁柱单元。

　　回复(3)：稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: 成钢

　　Posted on: 2002-04-16 19:18

　　罗罗 wrote:

　　原因，我以为承受着轴向外荷载的结构/构件的刚度是变化的.线性应变刚度矩阵是固定的，而非线性几何刚度矩阵随着轴向外荷载的变化而有规律地改变。刚度的变化影响了结构的固有频率和屈曲临界荷载。

　　有两点想提出来，和大家商讨：

　　(1) “承受着轴向外荷载的结构”语义不明确。比如对门式刚架结构，“轴向外荷载”指什么呢?

　　(2) 刚度的变化影响结构的固有频率，但不影响“屈曲临界荷载”。

　　回复： 回复(2)：稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: sjtu79

　　Posted on: 2002-04-18 11:39

　　成钢 wrote:

　　sjtu79 wrote:

　　有一个想请教的问题是：

　　梁在失稳状态下，其振动频率和振动模态将是怎样的呢?

　　这一问题很有启发性。以下讨论假设按小挠度理论用有限元法求解。

　　以双轴对称截面轴压杆为例，压杆弯曲屈曲时，其(屈曲平面内)横向振动频率为零，质量矩阵不参与计算，对(临界方程对应的)矩阵特征值问题的解没有影响，此时求出的特征值和特征向量分别对应其屈曲荷载和屈曲模态，不能求出这种状态下的振动模态。

　　此时，心中冒出一个疑问，求出“屈曲时对应的振动模态”到底有何意义?如果一定要求出这种振动模态，恐怕只好求助于求极限的方法了。假设轴压力N→临界荷载Ncr-，求得一阶振动频率Ω1→0+和相应的振型，后者即为所求。

　　通过类比，双轴对称截面轴压杆扭转屈曲时、单轴对称截面和非轴对称截面轴压杆弯扭屈曲时、以及梁弯扭屈曲时，也有类似的结论。

　　这个问题本来只是顺作若愚网友的思路而联想的,如想在工程中找例子，可用轻量高强度钢的船来说明:

　　设想一钢船在一大波(船长等于半波长)的波峰上,由于重力和浮力的作用,船的低板发生失稳(此时属于利用后失稳强度),同时,发动机迫使船强迫振动,如想计算。。。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: hzjstl

　　Posted on: 2002-10-06 12:32

　　成钢老师》有两点想提出来，和大家商讨：

　　》(1) “承受着轴向外荷载的结构”语义不明确。比如对门式刚架结构，“轴向外荷载”指什么呢?

　　》(2) 刚度的变化影响结构的固有频率，但不影响“屈曲临界荷载”。

　　非常赞同，这是需要澄清的两点。

　　1.第一个问题，我想“承受着轴向外荷载的结构”应为“承受着轴向外荷载的构件”。对于一个结构体系来讲，在某一工况荷载下，在一些杆件中产生轴向内力(轴压，压弯和拉弯)，其余的可能只是受弯构件。

　　2.刚度的变化本质上是由于外荷载产生的p-delta的效应所致,但我们讨论"屈曲临界荷载"时,指的是原结构能承受多大特定分布的荷载,不是指承受渐变荷载的结构还能承受多少荷载.所以"刚度的变化影响结构的固有频率"，但不影响“屈曲临界荷载”.

　　自振频率与特征值屈曲、失稳模态与振型的联系

　　Posted by: tg

　　Posted on: 2003-09-04 21:58

　　在某种应力状态下，计算结构振型和频率。在这种情形中运动方程中必须包括几何刚度，平衡方程为：

　　[M]{d}+[K]{d}-[Kg]{d}=[M]{d}+[KK]{d}=0(1)

　　频率方程(模态分析基本方程)为：

　　[KK]{ di}=wi2[M] { di} (2)

　　式中各符号的含义如下：

　　[M]：质量矩阵

　　[K]：刚度矩阵

　　[Kg]：几何刚度矩阵

　　[KK]=[K]- [Kg]：组合刚度矩阵

　　([M]后面的{d}上面少两点)

　　由上可知：结构的有效刚度与结构的应力状态有关，振动频率与振型也因应力状态的不同而有所修正。对于一个给定的结构，不同的应力状态对应着不同的自振频率。注意上述论述是在小变形假定下得到的，若考虑几何大变形的影响，则[M]和[K]都与位移状态有关，不再是定常的。

　　假如振动的频率为零，则平衡方程变成：

　　([K]- [Kg]){d}=0

　　从中得到一个非零的位移向量，并由此构成了静力失稳条件。换言之，振动频率变成零是结构失稳的一个判断准则(振动法)。

　　若在线弹性条件下，可先任意给定一组外荷载，使其代表真实外荷载的相对大小，则先由静力平衡方程式[K]{d}={R}可求得位移向量，进而求得线性稳定问题的初应力状态，从而可求得结构的几何刚度矩阵，并以一个因子t改变初应力的大小，这时结构的几何刚度矩阵为l[Kg0]。平衡方程为：

　　([K]-t* [Kg0]){ d}=0 (3)

　　由此可见，线弹性条件下的稳定性问题最终归结为广义特征值问题，其特征值和相应特征向量分别表征各阶临界荷载的大小及相应的屈曲形式。因而，它又称为特征值屈曲。

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系　　Copy to clipboard

　　Posted by: youxun_33

　　Posted on: 2003-12-18 18:30

　　t成钢:

　　残余应力有一种情况：在具有塑性变形的材料中当外加荷载卸掉后，因为卸载时，应力与应变成线性关系，有残余变形，截面也有残余应力.见笑～

　　回复： 稳定承载力与自振频率、失稳模态与振型有本质上的联系

　　Posted by: jiangyb

　　Posted on: 2004-04-25 10:23

　　赞同成钢兄的意见：

　　只有在极少数情形下，比如两端简支的压杆，基本振型与失稳模态是一致的;多数情形下，基本振型与失稳模态不一致。

　　因为模态分析的振型与质量分布是有关的，而从求解屈曲模态的方程可以看出与质量的分布是无关的。因此即使对于一根两端间支的压杆，若中间还存在一个一个集中质量分布，与均质量分布的两端间支的压杆相比，其振型明显是不同的，但是对于屈曲模态，由于不考虑质量分布，因此其屈曲模态相同。请高手指正

zsq-w

基本频率与外力有关，通过调整琴弦的松紧程度来调整频率，
美妙的音乐娓娓而来。
外力产生内应力（相当于残余内应力），影响了结构的刚度，从而影响临界承载力和基本频率。

这里所谓的“外力”我觉得是内力！