请教Monte Carlo方法

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最近在做非线性逆问题的概率密度演化问题，比较常用的是Monte Carlo方法，但是对其不是非常了解，谁能救题介绍一下？<BR>另外除了这种方法以外还有别的好方法吗？

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在数据分析, quasi-Monte Carlo 方法 是一个方法为根据低差误序列积分式(或某一其它问题的) 的计算。这是与蒙特卡洛方法对比, 根据伪随机数字序列。
蒙特卡洛和quasi-Monte Carlo 方法陈述用一个相似的方式。问题将接近作用f 的积分式 作为作用的平均被评估在一套观点 x1,., xN。

1 0 f(u) du 1NNi = 1 f (x i)
在蒙特卡洛方法, 集合 x1,., xN 被选择作为伪随机数字subsequence 。在quasi-Monte Carlo 方法, 集合是低差误序列的subsequence 。

上述型的方法的略计错误由条款一定比例与集合x 1 的 差误,., xN, 由Koksma-Hlawka 不平等。序列差误典型地被利用为quasi-Monte Carlo 方法由一定恒定的时期

(日志 N) sN
在比较, 以可能性一个, 一个一致的任意序列的期望的差误(依照被利用在蒙特卡洛方法) 有汇合命令

(日志日志 N)/2N
由被重复的对数的法律。

因而会看起来, quasi-Monte Carlo 方法的准确性快速地增加比那蒙特卡洛方法。但是, Morokoff 和Caflisch 援引quasi-Monte 好处Carlo 是比理论上被期望问题的例子。但是, 在例子由Morokoff 和Caflisch 学习, quasi-Monte Carlo 方法比蒙特卡洛方法产生了一个更加准确的结果以观点的同样数量。

Morokoff 和Caflisch 陈述, quasi-Monte Carlo 方法的好处是更大的如果被积函数是光滑的, 并且积分式的维度的数量小。

参考

迈克尔·Drmota 和罗伯特·F. Tichy 、 序列、差误和应用, 演讲注释在算术 1651 年, Springer, 柏林1997 年, 国际标准书号3-540-62606-9
Harald ·Niederreiter 。 随机号量和Quasi-Monte Carlo 方法。 社会为工业和应用数学1992 年。国际标准书号0-89871-295-5
Harald ·G. Niederreiter, Quasi-Monte Carlo 方法和伪随机数字, 公牛。Amer 。算术。Soc 。 84 (1978), 第6 日, 957 -- 1041 年
威廉J. Morokoff 和罗素·E. Caflisch 、 Quasi 任意序列和他们的差误, 泰国J. Sci. Comput 。 15 (1994), 第6 日, 1251 年-- 1279 年 (在CiteSeer:)
威廉J. Morokoff 和罗素·E. Caflisch, Quasi-Monte Carlo 综合化, J. Comput 。Phys 。 122 (1995), 第2, 218 -- 230 。 (在CiteSeer: )

frogfish

蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。

可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。

科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。

另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。

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另外有人提出了将Newmark-Beta时程积分方法与Lax-Wendroff差分格式结合起来分析概率密度演化问题，并指出与Monte Carlo方法相比，这种方法的计算精度较高和计算工作量较小