对数学未来的思考

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转自 数学风景线

发表日期：2005年1月5日 作者：美国明尼苏达大学数学及应用研究所所长--------我们依然站在不断扩展的地平线的门口
(注：作者为美国明尼苏达大学数学及应用研究所所长)

让我们想象一下：Archimedes(公元前287 -前212年 ) 这位在所有时代都是最卓越数学家之一的他正在提问：对于数学的未来你们看到了什么？这位古代数学家刚刚计算了球的表面积与体积，或者一段抛物弓形的面积，伸了伸懒腰，坐在位于西西里东海岸他家乡叙古拉的沙滩上，凝视着天边。他感到困惑：在数学上，他或者其他任何人还能再做点别的什么？他的最大雄心之一是要计算任意几何体的体积和表面积；然而他还不知道该怎么下手。他使用的工具是纯粹几何的，基于希腊数学家们的数百年的研究并在他出身的数十年前由Euclid 编写在他的名著《原本》中的那些知识。

鉴于数学工具的十分缺乏，局限了Archimedes 的视野。他得不出分数相加、相乘的快捷方法。为此，人们得花上千年时间等待十进制由印度和阿拉伯传到欧洲并使其发展。十进制的引进所带来的符号简化在其力所能及的范围是革命性的。

将Archimedes 留在叙拉古的沙滩上，让他去思考数学的未来还有些什么吧，现在我们去造访Issac Newton 爵士（1642 -1727）。23 岁时，当时刚取得剑桥大学学士学位，Newton 便被迫回家度过了18 个月光阴，因为那时正值大瘟疫，使大学关了门。在这短短的时间里，Newton 有了许多基本的发现，数学上他发现了二项式定理及微积分的初期形式，在物理上则发现了白光的组成及万有引力定律，现在我们去会一会年事已高的Newton 并问一问他那个同样对Archimedes 提出的问题：什么是数学的未来？

他可能会很快回应道，简单的回答是，继续建造微积分，借助于微积分，Newton 可以把任何几何形状的体积和表面积用积分来表示，并能计算到任意精确度，这 Archimedes 是所不能想象的, Newton 思考着这样的事实，即用万有引力定律和他自己的力学三基本定律（他会说'我的定律'），他能够以解微分方程的办法来算出运动物体的轨迹，而这些方程表现了力的平衡，那么，他自问道'我们能用微分方程去描述其他的自然法则，从而能以发展解出这些方程的工具的方法来预言自然的进程吗？'但即便是Newton的视野也不可避免地有所局限。从这时起到Gauss （1777 -1885）在数论中的基本发展花去了一百年，而到发展微几何的复杂性和Riemann 流形则又多花了五十年。

当我们离现代越近则未来便越容易预测了，David Hilbert （1862 -1943）是一位对数学的几乎每一个领域都有本质性的贡献的人。他在巴黎召开的国际数学家大会（1900）上列出一系列著名的数学问题，在这整个20 世纪对各个数学领域有着极大的影响，比如在数论、集合论、几何、拓扑论及偏微分方程中。

在最近的五十年中，我们亲自体察了在数学的许多领域中的巨大进展。在我所从事的偏微分方程（PED）这一领域中，我们现在有了一个巨大的知识主体，使我们能够去理解，预测并计算许多重要的物理和技术过程。例如，当我们测量一个固体的表面温度，我们就可通过解称之为'热传导方程'的偏微方程去推导出物体内部的温度，如果从外部加热一个冰块，它开始融化，我们在微分方程方面的知识使我们可以断定融化了的体积是怎样变化的，以及在融化了的体积中的水温。'梁杆方程'同样能预言当承受压缩力时一个弹性梁是如何变化。当加在梁上的压力超过一个临界值时，它就会突然翘曲，形变为许多状态中的一种。这种情形解释了微分方程解的多重性。

不管我们在微分方程方面的知识有多么丰富，仍然有许多东西我们不知道。举例来说，我们不知道气体动力方程是否有一个数学解，这个方程是用来确定飞机周围和发动机内的气流的。我们没有合适的知识来处理预测水的运动方程的解，从而我们对海洋的涡流缺乏了解，这些及其他许多的基本问题仍然期待得到数学的解答，在未来十年中它们仍是深入研究的主题。

数学的其他领域无疑也处在同样的不确定状态：虽然取得巨大进展，依然有许多基本问题没有解决。相对于早先的世纪而言我们处在一个充满冒险和刺激的地位：我们已经发展了许多重要的研究领域，已经有了许多强有力的计算和理论的工具。数学家们在未来许多年里可以继续忙于用现在的工具去寻找新方法，用来解决在数学和非数学（即科学和工程）领域中出现的问题。然而数学史表明，由现在去预言长远未来的发现是多么徒劳。的确如此，在今天难以想象的数学的新领域，会完全料想不出地冒出来。

因此我不去预测下个世纪数学的未来而在这里举出科技中三个关键领域的例子，在那里数学是以诚相待非常重要的成份出现的。这三个领域是材料科学，生命科学和数码技术。