[转帖]有关数学物理反问题

雪缘

近二十年来,数学物理反问题已成为应用数学中发展和成长最快的领域之一。之所以如此,在很大程度上是受其它学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需要所驱动；同时,由于它在理论上又具有鲜明的新颖性和挑战性，所以引起了国内外许多学者和实际工作者
从事研究和应用。迄今,它已发展成为具有交叉性的计算数学、应用数学和系统科学中的一个热门学科方向。数学物理反问题的研究可分为研究和实际应用两个方面，地质工程、医学、军事、环境、遥测、控制、通讯、气象、经济等领域着重实际的应用；而数学研究着重研究问题的理论和方法。数学物理反问题是和数学物理正问题相对应的，我们称一个先前研究的相对充分或完备的问题为正问题，它描述的是时空域中顺时针的物理变化过程，一般是按某物理规律由因而果，由过去、现在来预测未来；而反问题描述的是时空域逆时针的物理变化过程，由果探求因。反问题又和问题的不适定性紧密联系在一起的，由于不适定问题

大量的普遍存在，必然要求寻求合适的特殊的方法处理才能得到稳定的近似解各种反问题不胜枚举，从实际应用角度来看，可以概括的说，有两种不同的动机驱动着反问题的研究： (1).想了解物理过程过去的状态或辩识其参数(以便为预测的目的服务);
(2).想了解如何通过干预当前的状态或调整某些参数去影响(或控制)该系统,以便使其在未来达到人们所预期的状态。
因此我们可以这么说,反问题就是要定量的探求:在已观察到的效果(表现)的背后的动因究竟是什么?以及对于期望达到的效果而言,应当预先
施加何种措施或控制?
求解数学物理反问题所面临的两个本质性的实际问题是：(1)原始数据可能不属于所论问题精确解所对应的数据集合，因而在经典意义下的近似解可能不存在；(2)近似解的不稳定性，即原始数据小的误差会导致近似解与真解的严重偏离。总之，反问题常常是不适定的，是和不适定性紧密联系在一起的，若不采用特殊的方法求解，将得不到合理的答案。

求解数学物理反问题的普遍适用而行之有效的方法，是由著名的学者Tikhonov以第一类算子方程为数学框架，于60年代初创造性的提出，后来得到深入发展的正则化(Regularization method)这一方法为处理反问题奠定了坚实而广泛的理论基础，后来多发展和推广盖
源于此，其基本思想是：用一族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解。从而，如何构造邻近的问题而获得正则算子和正则解、
如何构造与原问题的邻近程度而决定与原始资料的误差水平想匹配的正则参数以及如何实现上述问题，就成为正则化方法的核心问题。

对反问题的回答没有一个明确的描述，就象对分形的描述。
我们所碰到的问题一般是由因索果，这是正问题(forward ,direct problems)。比如求解方程（从小学到大学的课程都是如此），要求给出已知条件（出现在方程中的未知系数，初始条件以及边界条件等），这样才可以求解；反过来，我们在由果索因，即已知其解，反求方程中的未知量，即确定方程中的未知系数，初始条件以及边界条件等,这就是反问题(inverse problems)。其应用比如无损检测，雷达探测（隐形飞机的识别就是要得到其阻抗），声呐探测，石油资源地下矿藏的探测等，
一般地，反问题都是非线性的和不适定的，因而比求解正问题更困难。

目前，欧洲和美国对反问题的研究比较投入，分别建立了网站。比较著名的月刊有
1.Inverse Problems;
2.Inverse problems in engineering;
3.J. of inverse and ill-posed problems.

雪缘

反问题的书

Inverse problems for partial differential equations. springer
Inverse acoustic and electromynetic scattering theory. springer

因有关积分方程的知识在反问题研究上有许多应用所以还想能得到下面的书
Linear integral equation. R. Kress. springer

下面再介绍几本反问题的书
Integral equation methods in scattering theory. D.Colton,R.Kress.
An introduction to the mathematical theory of inverse problems. Springer
Elements of the theory of inverse problems. A.M.Denisov. Utrecht,The Netherlands,1999.
Introduction to the theory of the inverse problems. A.L.Bukhgeim

另外推荐 科学出版社，肖庭延，于慎根，王彦飞著的《反问题的数值解法》。该书新东西不多，不过作为启蒙书，可以看看，主要谈的是正则方法。
本书系统介绍了数学物理反问题求解的正则化方法，主要包括适定与不适定问题的基本概念：反问题、不适定性及其与第一类算子方程的联系，基于算子广义逆理论的各种推广，几种提高正则解精度和计算效率的迭代正则化方法、离散正则化方法，各种正则化算法的数值实现，带有工程、物理与经济应用背景有启发性的实例，在附录中给出了最近的国内外研究成果和示范性MALAB语言源程序。
本书适合于数学专业科研人员、大学教师使用，亦可供从事科学和工程领域中反问题数值计算方法研究的科研人员，高等院校的教师、研究生和高年级大学生参考。

下面是一些与反问题有关的网站，在这些网站里，你可以了解最新动态，每个人从事研究的方向，历年的会议和主题，研究方法和源程序代码。
http://www.me.ua.edu/inverse/
IPNet: Inverse Problems Network http://www.mth.msu.edu/ipnet/index.html
http://www.ms.uky.edu/~rbrown/inverse/
http://www.ipam.ucla.edu/
http://www.ma.umist.ac.uk/bl/inverseproblems.html
http://www.inria.fr/publications/index.en.html
http://www.ma.umist.ac.uk/bl/ukipws/
http://venda.uku.fi/research/FIPS/

1.Brunel University, Uxbridge, United Kingdom
Simon Chandler-Wilde, Dr.Email: simon.chandler-wilde@brunel.ac.ukWeb: http://www.brunel.ac.uk/~mastsnc
2.Ecole Polytechnique, Paris, France
Andrei Constantinescu, Dr.Email: constant@lms.polytechnique.frWeb: http://www.lms.polytechnique.fr/Pages/constant.html
3 Nanjing University, China
Jijun Liu, Prof. Dr.Email: jjliu@seu.edu.cnWeb:
（注： 东南大学：刘继军教授）
4 Sapporo University, Japan
Gen Nakamura, Prof. Dr.Email: gnaka@math.hokudai.ac.jpWeb: -
5 Technical University of Istanbul
Ibrahim Akduman, Prof. Dr.Email: akduman@ehb.itu.edu.trWeb:
http://www.ehb.itu.edu.tr/~akduman/
6 Texas A & M University, College Station, Texas, USA
William Rundell, Prof. Dr.Email: william.rundell@math.tamu.eduWeb: http://www.math.tamu.edu/~william.rundell/..._homepage.html/
7 University of Athens, Greece
Ioannis Stratis, Prof. Dr.Email: istratis@math.uoa.grWeb: http://www.math.uoa.gr/web/english/faculty...sis/stratis.htm
8 University of Delaware, Delaware, USA
David Colton, Prof. Dr.Email: colton@math.udel.eduWeb: http://www.math.udel.edu/~colton
9 University of Delaware, Delaware, USA
Peter Monk, Prof. Dr.Email: monk@math.udel.eduWeb: http://www.math.udel.edu/~monk
10 University of Göttingen, Germany
Thorsten Hohage, Prof. Dr.Email: hohage@math.uni-goettingen.deWeb: http://www.num.math.uni-goettingen.de/hohage/
11 University of Göttingen, Germany, Institut for Numerical and Applied Mathematics
Rainer Kress, Prof. Dr.Email: kress@math.uni-goettingen.deWeb: http://www.num.math.uni-goettingen.de/kress/
12 University of Karlsruhe, Germany
Andreas Kirsch, Prof. Dr.Email: Andreas.Kirsch@math.uni-karlsruhe.deWeb: http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/~ma2ki/
13 University of Karlsruhe, Germany
Frank Hettlich, PD Dr.Email: hettlich@math.uni-karlsruhe.deWeb: http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/~ma...ch/Welcome.html
14 University of Karlsruhe, Germany
Tilo Arens, Dr.Email: arens@numathics.comWeb: http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/~ma...personal/arens/
15 University of Washington, Washington State, USA
John Sylvester, Prof. Dr.Email: sylvest@math.washington.eduWeb: http://www.math.washington.edu/~sylvest/
16 Yonsei University, Korea
Jin Keun Seo, Prof. Dr.Email: seoj@yonsei.ac.krWeb: http://suny.yonsei.ac.kr/~yspde/

雪缘

反问题的数值解法 ■ 肖庭延 于慎根 王彦飞
内容提要 本书系统介绍了数学物理反问题求解的正则化方法，主要包括适定与不适定问题的基本概念：反问题、不适定性及其与第一类算子方程的联系，基于算子广义逆理论的各种推广，几种提高正则解精度和计算效率的迭代正则化方法、离散正则化方法，各种正则化算法的数值实现，带有工程、物理与经济应用背景有启发性的实例，在附录中给出了最近的国内外研究成果和示范性MALAB语言源程序。
本书适合于数学专业科研人员、大学教师使用，亦可供从事科学和工程领域中反问题数值计算方法研究的科研人员，高等院校的教师、研究生和高年级大学生参考。
前言
第一章 绪论
1·1 反问题与第一类算子方程
1·2 第一类算子方程的不适定性
1·3 求解第一类算子方程的基本思路
第二章 基于变分原理的正则化方法
2·1 关于选择法与拟解法
2·2 稳定泛函与正则化
2·3 近似解的正则性条件
2·4 确定正则参数的后验策略
2·5 对求解第一类积分方程的应用
2·6 在Hilbert空间中的处理和结果
第三章 第一类卷积型方程的正则解
3·1 积分变换数值反演的不适定性
3·2 稳定因子与正则化
3·3 正则参数的确定
3·4 一些注记
第四章 基于谱分析的正则化理论
4·1 关于谱分析和广义逆的基本结果
4·2 线性紧算子的奇异值分解
4·3 滤波函数与正则化
4·4 正则解的误差估计
4·5 正则参数的选择（续）
第五章 迭代正则化方法
5·1 Landweber迭代法
5·2 正则化的半迭代法
5·3 共轭梯度(CG)法
5·4 迭代Tikhonov正则化
第六章 有限维近似与离散正则化方法
6·1 问题的有限维逼近
6·2 作为正则化策略的投影法
6·3 离散正则化方法
第七章 正则化方法的快速数值实现
7·1 离散Euler方程的三对角化
7·2 决定正则参数的高阶收敛算法
7·3 离散正则化与快速Fourier变换
7·4 迭代正则化方法的实施
第八章 若干应用实例
8·1 病态线性方程组的求解
8·2 带限信号的正则化重建与外推
8·3 黑体辐射的正则反演
8·4 Abel变换的数值反演
8·5 第一类Symm积分方程的求解
8·6 二维Fredholm方程的求解实例
8·7 线性统计模型参数的正则化估计
8·8 简要评述
参考文献
附录A 一些预备知识
A·1 关于谱表示定理的一些基本知识
A·2 有关正交多项式的一些知识
附录B 若干MATLAB源程序
B·1 基于偏差原则用Newton法决定正则参数的源程序
B·2 基于Engl误差极小化原则用Newton法决定正则参数的源程序
B·3 基于偏差原则和快速算法决定正则参数的源程序
附录C 非线性反问题及其数值解法简介
C·1 引言
C·2 几种常用的方法描述
C·3 正则化的Gauss-Newton型方法
索引

adminftp

http://forum.vibunion.com/thread-2222-1-1.html
本论坛有这本书了

呵呵

这本书是叫“反问题的数值解法”吗？是哪个出版社的？编写老师是哪所大学的？谢谢！

aspen

这本书是叫“反问题的数值解法”吗？是哪个出版社的？编写老师是哪所大学的？谢谢！

三楼已经给出详细说明了
http://forum.vibunion.com/thread-13920-1-1.html

zhangjungis

这个链接进不去，在网上其它地方下载到了，需要的可以找我

[ 本帖最后由 zhangjungis 于 2010-6-21 10:13 编辑 ]