[转帖]一生受用的数学公式--椭球 球表面积 体积

VibInfo

　　以下公式，工作中可能用到，今天我设计院的同学让我算一个旋转椭球体的表面积，：(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1

　　a=19520,b=11520,c=11520，(b=c)，

　　可惜找不到相关公式，论坛上以前有人问过，但没有解决?

　　已经知道用maple：evalf(ellipsoid(19520，11520，11520))可以求

　　=2478211310.

　　matlab等数学工具都可求，我想请教手算方法。

　　注：二重积分算表面积很麻烦，希望提出详细解决方法，最好有结果。

　　我们用曲面积分求了一个公式：pI^2ab=2217132196数值基本符合

　　一生受用的数学公式

　　作者：HITMAN编辑

　　坐标几何

　　一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0)，称为

　　原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。

　　一条直线可以用方程式y=mx+c来表示，m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于 (0,

　　c)，与x轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是x=k，x为定值。

　　通过(x0, y0)这一点，且斜率为n的直线是

　　y–y0=n(x–x0)

　　一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是

　　y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2　　 x1≠x2

　　若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角θ满足于

　　tanθ=m–n/1+mn

　　半径为r、圆心在(a, b)的圆，以(x–a) 2+(y–b) 2=r2表示。

　　三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球，

　　以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2表示。

　　三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。

　　三角学

　　边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为：正弦(sine)、余弦

　　(cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。

　　sinθ=b/c　　cosθ=a/c　　tanθ=b/a

　　cscθ=c/b　　secθ=c/a　　cotθ=a/b

　　若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。

　　a=cosθ　　　　b=sinθ

　　依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ，我们都可得出下列的全等式：

　　cos2θ+sin2θ=1

　　三角恒等式

　　根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式(identity)：

　　tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=cosθ/sinθ

　　secθ=1/cosθ，cscθ=1/sinθ

　　分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ+sin 2θ=1，可得：

　　sec 2θ–tan 2θ=1　　及　　csc 2θ–cot 2θ=1

　　对于负角度，六个三角函数分别为：

　　sin(–θ)= –sinθ 　csc(–θ)= –cscθ

　　cos(–θ)= cosθ　　sec(–θ)= secθ

　　tan(–θ)= –tanθ　 cot(–θ)= –cotθ

　　当两角度相加时，运用和角公式：

　　sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ

　　cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ

　　tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ

　　若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式：

　　sin2α= 2sinαcosα　 sin3α= 3sinαcos2α–sin3α

　　cos2α= cos 2α–sin 2α　cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα

　　tan 2α= 2tanα/1–tan 2α

　　tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α

　　二维图形

　　下面是一些二维图形的周长与面积公式。

　　圆：

　　半径= r　　　　直径d=2r

　　圆周长= 2πr =πd

　　面积=πr2　 (π=3.1415926…….)

　　椭圆：

　　面积=πab

　　a与b分别代表短轴与长轴的一半。

　　矩形：

　　面积= ab

　　周长= 2a+2b

　　平行四边形(parallelogram)：

　　面积= bh = ab sinα

　　周长= 2a+2b

　　梯形：

　　面积= 1/2h (a+b)

　　周长= a+b+h (secα+secβ)

　　正n边形：

　　面积= 1/2nb2 cot (180°/n)

　　周长= nb

　　四边形(i)：

　　面积= 1/2ab sinα

　　四边形(ii)：

　　面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2

　　三维图形

　　以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。

　　球体：

　　体积= 4/3πr3

　　表面积= 4πr2

　　方体：

　　体积= abc

　　表面积= 2(ab+ac+bc)

　　圆柱体：

　　体积= πr2h

　　表面积= 2πrh+2πr2

　　圆锥体：

　　体积= 1/3πr2h

　　表面积=πr√r2+h2 +πr2

　　三角锥体：

　　若底面积为A，

　　体积= 1/3Ah

　　平截头体(frustum)：

　　体积= 1/3πh (a2+ab+b2)

　　表面积=π(a+b)c+πa2+πb2

　　椭球：

　　体积= 4/3πabc

　　环面(torus)：

　　体积= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2

　　表面积=π2 (b2–a2)

frogfish

用maple推一下

zagjali

　　用非常简单的b型近似公式即可解决：

S=πb/(100a)(17a+3b)^2=2489049127
S=4πb(sin45°(a-b)+b) =2486600254

maple： =2478211310

如果不是要求很高的精度，上述数字已能基本满足。

如果需要更高精度，则用下列公式即可，
S=πb/(100a)(16.9a+3.1b)2((a-b)/a)6/arctg((a-b)/a)6
=2478210330 与标准数字非常接近。
上述几个公式均为近似公式，而最一个则包含了割圆术公式，所以精度较高。

　　

[此贴子已经被作者于2006-3-27 3:56:07编辑过]