[book] 哈密尔顿系统的辛几何算法

心灯

　　-- 哈密尔顿系统的辛几何算法

书名：哈密尔顿系统的辛几何算法
作者：冯康 秦孟兆
定价：68.00
出版时间：2003年12月(精装本)
内容介绍：冯康院士1980年初，他开始研究动力系统计算方法，提出了哈密尔顿系统的辛几何算法，有开辟了一个有广阔应用前景的全新的研究领域。他将生命的最后10年全部投入到了这一领域的研究中。本书叙述哈密尔顿辛几何算法理论基础及一些相关的算法，包括冯康院士生前计划撰写的主要内容。这些内容已经经历了时间的考验。第一章大部分内容及第二章就是冯康生前在北京大学讲学的讲稿，其他章节主要是根据冯康论文和手稿及他的课题组成员的论文编写而成的。出版这本书的目的，在于系统介绍辛几何算法理论及发展，从辛积分子到酉积分子进而到一般李群积分子、变分积分子，从保辛结构、保酉结构、保体积结构、保接触结构，到保泊松结构、保李—泊松结构;从保首次积分格式来说，有保能量格式、保动量格式、保系统特征值(等谱流);从辛结构本身来说，从保单辛结构(主要是常微分方程)到多辛结构(偏微分方程).一句话，统称为保结构算法。
各章名称：
第一章：微分流行的基本知识
第二章：辛代数和辛几何的基本知识
第三章：哈密尔顿力学与辛几何
第四章：哈密尔顿系统的辛差分格式
第五章：典型哈密尔顿系统的辛差分格式的一般理论
第六章：生成函数的运算及其形式能量
第七章：辛 R.K 方法及其相关方法
第八章：组合格式
第九章：形式幂级数
第十章：无源系统的保体积格式
第十一章：接触动力系统的接触算法
第十二章：Poisson括号和Lie-Poisson系统
参考文献
符号说明
后记
推荐图书www.explorerbook.com(探索书店)均有售，可网上订书也可到书店购买。

心灯

冯康教授--辛算法研究


　　
　　 冯康教授于1984年提出Hamilton系统的辛几何算法，首次将保持Hamilton系统几何结构的思想引入数值分析，随后引来了国内外在这方面的极大兴趣。冯康教授开辟了一个新的研究领域，并在近十年的时间里带领他的研究小组在辛几何算法等保结构算法及其在数值分析中的应用等方面进行了广泛深入的研究，取得了丰硕的成果。现在人们已越来越意识到保结构算法的重要性，事实上保结构算法已在很多领域包括天体力学，量子化学，非线性波，不可压流体，大气物理和地物勘探数据处理等，找到很好的应用。另一方面，在这些领域中的应用反过来又必将促进辛几何算法等保结构算法本身的不断完善何不断发展。大量数值实验结果已证明，较之传统算法，保结构算法对保结构动力系统的计算具有令人信服的优势。 在辛几何算法理论方面，仍有一些悬而未决的难点问题和最新提出的一些重点问题有待解决;另一方面，在辛算法的基础上，现在国际上又兴起了专门解保守型偏微分方程的多辛算法。孤立子波动方程是广泛应用于物理领域的非常重要的守恒型偏微分方程，对其复杂孤立子波的数值模拟二十多年来一直是国际上一个热门课题，数值结果已经显示辛算法，多辛算法的优势和可行性，但至尽仍然存在许多有待解决的问题。 我们主要研究的是多辛算法，现阶段的研究水平已完全与国际科研水平持平，并保持同步发展。 我们把多辛几何算法应用到孤子方程中去，数值研究表明多辛算法和常微分方程情形一样具有长期跟踪能力, 不会带来人为污染, 能正确反应孤子碰撞问题.我们发表在Phys.A Mathematical gen(2000), 33:18, 3613--3626上的论文给出了一个三层12点格式. 此文发表后不久, 两美国学者Schultz M ,Trimper S 在此刊同卷41期上发表论文:“动力运动产生孤子”, 文中称我们的方法是著名的方法。 李群算法是最近才发展起来的一种很有发展前途的数值算法。它用来求解齐次流形上的常微分方程，使得所求的数值解仍在同一流形上李群算法是冯康先生辛几何算法的拓扩，把保几何结构的思想推广到一般李群上。进而，为深化地震波深度域偏移成像研究，就需要研究保持模方守恒的快速算法。所以有必要研究适于地震波传播及深度域偏移成像的李群算法。地震波传播、(除逆时偏移外的)时间偏移与地震波场延拓的深度偏移之间存在差异。若要求振幅保真，那么，前者必须采用辛几何算法，而后者则应该采用李群算法。李群作用的表示依赖于基函数的选择，选择不同的基函数，得到不同的表示。从数值计算应用的角度看，这种表示应有较高的精度，并便于计算在非均匀介质中的声波传播的研究，有着重要的应用. 一个是在地质中的传播, 可以用来研究地质结构;一个是在中海洋的传播, 可以用来研究海洋中的物体的情况。 由我们首次提出“共轭辛”, 并证明任何共轭辛的线性多步格式不会超过2阶精度。首次分析了辛格式形式能量的收敛性。达到国际领先水平。  





　　

[此贴子已经被aspen于2005-5-17 21:43:35编辑过]

多情清秋

用辛几何来研究转子系统我想应该是不错的一种方法，这个好多年前黄老院士就提出来过，估计是因为对数学要求比较高，所以没有开展起来，我也一直想尝试做这方面的工作，但是没有太多精力，我想如果有人感兴趣的，我们可以组成一个小组，以学习的态度可以尝试一下向这方面发展。

风花雪月

冯康教授于1984年提出Hamilton系统的辛几何算法，首次将保持Hamilton系统几何结构的思想引入数值分析，随后引来了国内外在这方面的极大兴趣。


　　

~~~~~~~~~~~~~~~是他提出的吗?

simon21

google一下吧

cora

独立之精神 自由之思想——学习冯康科学创新精神
http://www.qiji.cn/news/ 奇迹报道 20世纪60年代中期他独立于西方创始有限元方法及随后取得的一系列重要成就，使他自20世纪70年代后期起驰名世界。1980年初，他转向动力系统计算方法的研究。在他去世4年后，这一重大研究成果终于获得了国家自然科学一等奖。这是自1990年以来我国仅有的4项国家自然科学一等奖之一。

冯康院士生前一直想总结哈密尔顿系统的辛几何算法方面的相关研究成果并出版一本专著。他已接到了德国Springer出版社的约稿邀请，并计划等到材料更充实、内容更丰富些时再完成这一工作。他撰写了两章英文书稿，并曾作为讲义在北京大学为研究生讲授。可惜于1993年8月冯康院士不幸病逝他没有来得及实现他的计划。

秦孟兆教授作为冯康教授的长期合作者和追随者，从20世纪80年代初冯康课题组成立起就参加了哈密尔顿系统的辛几何算法的研究工作，经历了辛算法创始及发展的全过程。在课题组其他成员的协助下，在研究所的支持下，整理冯康先生的遗稿和一系列已发表过的论著，完成了《哈密尔顿系统的辛几何算法》一书的撰写工作。冯康院士生前计划撰写的主要内容经历了时间的考验，已被包括在本书中。本书不仅能向读者系统介绍哈密尔顿系统的辛几何算法，而且能较全面地反映冯康院士的学术思想，从而进一步促进该领域的研究工作及相关成果的推广应用。

自20世纪80年代初以来，哈密尔顿系统的辛几何算法便一直是中国科学院计算数学与科学工程计算研究所?包括前身中国科学院计算中心的重点研究方向。计算中心的首任主任、国际著名数学家、我国计算数学和科学计算事业的奠基人冯康院士(1920～1993)则是这一新的研究方向的开拓者和带头人。

冯康院士在数学的不同领域作出过许多重要贡献。20世纪60年代中期他独立于西方创始有限元方法及随后取得的一系列重要成就，使他自20世纪70年代后期起驰名世界。1980年初，他转向动力系统计算方法的研究，提出了哈密尔顿系统的辛几何算法，又开辟了一个有广阔应用前景的全新的研究领域。他将生命的最后10年全部投入到了这一领域的研究中。他组织研究队伍进行了系统、深入的理论研究和数值实验，取得了极其丰硕的成果。在他去世4年后，这一重大研究成果终于获得了国家自然科学一等奖。这是自1990年以来我国仅有的4项国家自然科学一等奖之一。

经典力学有牛顿力学、拉格朗日力学、哈密尔顿力学三种形式表示，这些不同数学形式陈述同一物理规律，由于形式不同，它们在实践中对解决问题会提供不同的途径，因此等价的数学形式在实践中可能是不等效的。

首先还得从历史上来考察人们对哈密尔顿体系的评价。哈密尔顿本人是从几何光学着手创建他的理论模式的，而后才转向与光学相距甚远的力学。1934年哈密尔顿曾说：“这套思想与方法业已应用到光学与力学，看来还有其他方面的应用，通过数学家的努力还将发展成为一门独立的学问。”这仅仅是他本人的期望。19世纪同代人对其反应则很冷淡，认为这套理论“漂亮而无用”，著名数学家Klein在对哈密尔顿体系的理论给予很高的评价的同时，对其实用价值亦持怀疑态度，他说“这套理论对于物理学家是难望有用的，而对工程师则根本无用。”这种怀疑，至少就物理学的范畴而言，是被随后的历史发展所完全否定了。到了20世纪量子力学创始人之一Schrodinger曾说?“哈密尔顿原理已经成为现代物理的基石，如果您要用现代理论解决任何物理问题，首先得把它表示为哈密尔顿形式。”

哈密尔顿体系的基础是辛几何，哈密尔顿为了研究牛顿力学，引进广义坐标和广义动量来表示系统的能量，现在通称为哈密尔顿函数? 对于自由度为n的系统，n个广义坐标和n个广义动量张成2n维相空间，这样?牛顿力学成为相空间中的几何学，用现代观点来看，这是一种辛几何学。

看来，不仅辛几何本身的研究是极其丰富而有生命力的，而且它的应用领域极其广泛，如天体力学、几何光学、等离子体物理、地质勘探、分子物理、高能加速器的设计、流体力学、弹性力学、最优控制等。

哈密尔顿体系是动力系统的重要体系，一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可表示成哈密尔顿体系，它的应用范围很广，包括结构生物学、药理学、半导体、超导、等离子体、天体力学、材料和偏微分方程，其中前5个方面应用已列为美国研究计划重点“Grand Challenges”。

哈密尔顿体系是如此重要，它所包括的有限或无限维的都是特定形式常微分方程和偏微分方程。对于微分方程计算方法的研究从18世纪起，至今已有异常丰富的积累，专著、论文卷帙浩繁，无论是通用的、普适的方法，还是针对特定类型的方法都是这样，但是发现针对哈密尔顿类型方程的计算方法都基本阙如。这一空白贫乏的现状与哈密尔顿体系的重要性和普适性形成了尖锐的对比是令人费解的。

冯康和他的课题组抓住这个问题进行深入、系统的研究，终于在计算方法这个领域开辟了一个新的分支——辛几何算法。

冯康于20世纪80年代初就开始研究针对哈密尔顿体系的计算方法，并于1984年在国际微分几何与微分方程北京讨论会上作了题为《差分格式与辛几何》的大会报告，首次系统地提出了哈密尔顿系统的辛几何算法。他组织了一支精干的研究队伍，经过10多年努力，取得了重要成果，主要包括：

　　1.提出了哈密尔顿系统的辛几何算法的完整的理论框架;
　　2.推广了分析力学中生成函数与Hamilton-Jacobi方程理论，构造了为数众多的任意阶精度的辛格式;
　　3.讨论了算法守恒性、算法辛不变性与守恒性之间的关系。研究了多步格式，证明了所有线性多步格式对非线性系统都不是辛的。研究了辛算法的KAM定理;
　　4.发展了形式向量场和形式相流的幂级数的完备理论。现在这一理论被广泛地称为常微分方程的后误差分析?backward analysis;
　　5.把哈密尔顿系统的辛算法的思想推广到一般具有李代数结构的动力系统，实现了动力系统算法的几何化，对接触系统构造了接触算法，对无源系统构造了保体积算法;发展了利用组合格式构造高精度保结构乘积外推的理论。

冯康及其课题组开辟了一个理应受到重视但却长期被忽视的研究领域。由于传统的算法除少数例外，都不是辛算法，不可避免地带有人为耗散性等歪曲体系特征的缺陷，而冯康提出的为数众多的非传统的算法却有保持体系结构的优点，在空间结构对称性和守恒性方面优于传统算法，特别在稳定性与长期跟踪能力上具有独特的优越性。深入的理论分析和大量的数值实验令人信服地表明，辛算法是计算动力学中长期预测问题的有效方法。

出版这本书的目的，在于系统介绍辛几何算法理论及发展，从辛积分子到酉积分子进而到一般李群积分子、变分积分子，从保辛结构、保酉结构、保体积结构、保接触结构，到保泊松结构、保李—泊松结构;从保首次积分格式来说，有保能量格式、保动量格式、保系统特征值?等谱流?;从辛结构本身来说，从保单辛结构?主要是常微分方程到多辛结构偏微分方程。一句话，统称为保结构算法。

涉及国际上沿着这一方向发展的最新研究成果将另外著作出版，其主要介绍辛几何发展的保结构算法新内容、多辛算法、李群算法、Birkhoff系统、保微分复形算法、Maslov渐近理论等。

出版此书的另一目的在于学习冯康的创新精神,正如冯端院士在书的后记中所说:科学创新要有浓厚的学术气氛? 是“一言堂”呢?还是“群言堂”呢?这也是不言自明的从冯康的科学生涯中?我们不难发现?能否容许“独立之精神?自由之思想”的发扬光大是科学能否得到创新的关键问题。让我们继承和发扬冯康的科学创新精神。

《哈密尔顿系统的辛几何算法》，冯康 秦孟兆 著，浙江科学技术出版社，2003年12月第一版，定价：68.00元。(文/辛克佐)


　　

[此贴子已经被多情清秋于2005-8-16 21:09:11编辑过]

cora

从上面的文章看确实是他

frogfish

看了一下近几年的国家三大奖，和Hamilton系统相关的实在是不少，有前途

多情清秋

　　

以下是引用visualsun在2005-7-21 20:38:32的发言：


　　

看了一下近几年的国家三大奖，和Hamilton系统相关的实在是不少，有前途


　　
有志气，想奔着国家三大奖去吗?

mxtfirst

以下是引用风花雪月在2005-6-7 8:40:49的发言：


　　

冯康教授于1984年提出Hamilton系统的辛几何算法，首次将保持Hamilton系统几何结构的思想引入数值分析，随后引来了国内外在这方面的极大兴趣。


　　

~~~~~~~~~~~~~~~是他提出的吗?


1956 年4 月,Vogelaere 在美国海军的一份秘密报告的摘要中,写到Hamilton 方程从时刻t0 到时刻t1 之间的变换是接触性变换. 他在这份报告中,还给出了能够保持接触变换性质的Hamilton 方程的积分变换. Vogelaere 在这份秘密报告中所说的接触性变换,就是我们现在通常所说的辛变换. 此份报告主要给出了两个辛格式,但它并没有给出计算实例. 由于篇幅所限,我们在此不列出这两个格式. Vogelaere 的报告是美国海军的一份秘密报告,一直不为人所知,因而未能产生多大的学术影响. 在以后的
将近30 年中,没有人继续在这一领域里进行研究. 1983 年,Ruth 公开发表了第1 篇Hamilton 系统辛算法的论文.他构造Hamilton 系统辛算法的思想是独立于Vogelaere 的. 在这篇论文中,他构造了可分Hamilton 系统(即Hamilton 函数可写成形式H ( p , q) = T ( p) + V ( q) 的Hamilton 系统) 的一阶、二阶和三阶辛格式.
1984 年,在北京举行的国际微分方程与微分几何会议上,我国已故数学家冯康先生作了题为“差分格式与辛几何”的报告.首次系统地提出了基于辛几何的辛算法.

摘自曾文平教授2004年的文章,是"辛算法的发展历史与现状"，华侨大学学报( 自然科学版) Vol. 25 No. 2

　　

[此贴子已经被作者于2005-8-30 12:00:46编辑过]

zjults

我想用hamilton动力系统研究转子的稳定性，不过KAM理论对我来说太难了，还有很多不确定的东西

zyl-jd2000

我现在 也 在 看 哈密砘
有兴趣可以交流
Email:zyl-jd2000@sohu.com