[转帖]（综述）三体运动的积分理论与周期解理论

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因为应用了常微分方程组（ODE）的解析方法，定性方法和数值方法，所以天体力学的问题本质上是ODE问题，从Newton证明行星绕日运动处于平面上得椭圆轨道，到Poincare出版三卷本的《天体力学新方法》，开创天体力学得新局面，Arnold很嚣张地说：“从Newton到Poincare的两百年间，充满了计算的荒漠。”然而，就算荒漠中也有绿洲，这些由前辈数学家家和天文学家精心栽培的绿洲点缀着人类智力的心田，使其不再是完全的黄沙漫天，犹如苦行者从跋涉中获取乐趣一般，他们也从这些艰难的计算和证明中获取乐趣。<BR>我们现在就来看看n体运动地一般情形，然后马上以限制性三体运动为研究对象。我们知道，采取Hamilton形式后，n体运动可以化为6n阶微分方程，Hamilton形式是天体力学地基础，因为它的对称性而使得各种变换理论大显身手。对于三体运动，这是18阶微分方程组。根据微分方程组的基本定理，要降阶就必须求出足够多的首次积分。三体运动有三个动量积分，三个质心运动积分，三个动量矩积分，一个能量积分，总共十个积分。 Lagrange于1772年利用这十个积分以及消去自变量和交点经度的方法把18阶微分方程降到6阶。1843年，Jacobi证明，对于n体运动问题，如果能够找到6n-2个积分，则剩下的2个积分也可以找出。让我们来看二体运动，它是12阶方程，有10个积分，因此剩下两个可以找出，因此完全可积。对于三体运动，还差八个，Jacobi定理告诉我们如果能够再找到六个就大功告成了。<BR>三体运动问题的一般提法实在太难解决了。我们考虑平面圆形限制性三体运动。先从限制性三体运动说起。如果三个天体的质量都不可忽略，问题就异常复杂。我们考虑一种情况：两个天体质量有限，绕它们的质心在轨道平面上运动，另一个天体质量小到可以忽略，对这两个天体地运动不构成影响，但是这个小天体处于这两个天体引力位势的影响之下而运动，这就是限制性三体运动。限制性三体运动可以根据中心的两个天体绕质心运动时的圆周曲线种类进行相应分类：圆型限制性三体运动，椭圆型限制性三体运动，抛物型限制性三体运动和双曲型限制性三体运动。后两种应用得很少。主要用圆型和椭圆型两种。椭圆型限制性三体运动主要用于小行星运动的讨论，Trojan小行星群的运动就是太阳、木星于小行星群的椭圆型限制性三体运动的等边三角形的Lagrange特解。<BR>美国著名的天体力学家Hill是美国历史上第一个一流的天文学家，就好比Gibbs是美国物理学的第一位大师一样。Hill于十九世纪末发展了Euler月球理论中以Descartes坐标为基本变量和旋转坐标系的概念研究月球运动，他忽略了太阳的轨道偏心率、太阳的视差和月球的轨道倾角（月球轨道与地球轨道的交角，大约5度左右，变化不定，平均值为5度9分），这实际上就是平面圆型限制性三体运动。在研究圆型限制性三体运动时，采用特殊的旋转坐标系可以得出著名的Jacobi积分，零速度面（Hill面）和Lagrange特解。<BR>平面圆型限制性三体运动的运动微分方程只有四阶，已经有一个Jacobi型积分，所以只差一个了，但是这一个却迟迟找不到。1887年，Bruns证明，用坐标和速度作为基本变量的三体运动问题不存在代数积分，两年后，Poincare证明，连超越积分都不存在，更别说代数积分了，他也是从平面圆形限制性三体运动开始分析得。1941年，Siegel证明平面圆形限制性三体运动除了已知的那个Jacobi型积分外不存在新的积分。后人虽然从级数形式的积分入手进行研究却无法取得可靠结果（因为所得级数无法判断收敛性），而根据不变曲线反证新积分存在的实例也未找到，所以积分问题实际上是处于死胡同状态了。<BR>对于天体力学中不能直接求解的运动方程，除了用级数作为展开作为近似解之外，Poincare在19世纪末开辟了一条新的途径，通过寻找运动方程的周期解来分析问题，所谓周期性，就是在一定时间内天体的坐标和动量都回到相同点上，用他发明的相空间方法分析，周期解在相空间中形成极限环。周期解的存在同天体力学中的共振理论有密切联系，可以将某些周期解作为摄动研究的中间轨道。对于一个人造天体，周期解的存在性和稳定性时极其重要的。正式从这个意义上说，现代的人造星体的动力学基础在不考虑广义相对论等后Newton（post-Newton）效应的情况下，是应用了Newton与Poincare的理论混合体，当然，我们把Lagrange形式和Hamilton形式的力学都认为时Newton力学的形式化进展。为了研究天体力学中微分方程决定的积分曲线的大范围特性，Poincare应用了拓扑学和微分方程定性理论，事实上这是为了研究这个课题刺激了他创立了这两个数学分支。定性方法被Birkhoff和Arnold发扬光大。<BR>Poincare还研究了含有小参数的方程，当小参数为零时，对应周期解即相空间中的极限环。在得出周期解后在根据周期性条件得出小参数不为零时得周期解，这些周期解可以展开小参数得幂级数，应用逐次积分可以求出系数。在三体运动得研究中他得出了三种周期解，被称为Poincare周期解，记两行星间相互交角为α，偏心率为e。α为零且e都很小时称为第一种周期解，α为零且e有限时为第二种周期解，α不为零且e有限时为第三种周期解。Poincare周期解是周期解理论的基础。著名的Lagrange特解也是特殊的周期解之一。<BR>天体力学的第二个里程碑终于由于Poincare的全面且杰出贡献而建立了。 <BR>