[分享]鲁棒控制中的H2问题和H-inf问题

ll_18301

鲁棒控制中的H2问题和H-inf问题
现代鲁棒控制理论中，特别是多入多出系统（MIMO），H2问题和H-inf问题占据着中心地位，其中H2问题（也是一种特殊情况的LQG问题）研究的最多，最成熟，但是应用的却最少，相反却很大的促进了对线形系统的研究，也为H-inf问题的提出和解决铺平了道路。H2问题以最小化输出能量为控制其设计目标，上世纪六七十年代，人们把主要的研究投入到这个问题，由H2问题引出的H2控制，优化目标中没有考虑扰动（噪声），把只针对白噪声或者某一个噪声的信号有效果，此外现实中广为使用的乘法不确定性也很难考虑，而且H2范数不是诱导范数，数学运算受到很大限制，虽然H2控制可以把目标值优化为0，但实际应用中，不确定噪声很大衰减了性能及其稳定性。在80年代，传递函数的H-inf范数才被提出并被Doyle成功应用到鲁棒控制中， 线线系统的鲁棒控制得以完成，H-inf控制最小化传递函数（阵）的H-inf范数，也是传递函数矩阵最大奇异值的最大值，与H2控制对比，它以最小化最大奇异值的最大值（也可以形象地说是传递函数的峰值），只要求扰动和不确定性有界，而且H-inf范数是L2诱导范数，数学运算更加方便。九十年代只是针对结构不确定性的H-inf问题提出了结构奇异值综合法，并针对H-inf问题提出了更好的算法，分别针对解析解（H-inf次优解等）和数值解（LMI-线形矩阵不等式）两个方向发展，其中的LMI得以广泛的发展和推崇。
当然非线形系统的鲁棒控制，H-inf的思想也有很好的应用

第一次看鲁棒控制感觉扑朔迷离，理论艰深，特别是本科刚毕业时，需要很多的知识需要补充，矩阵分析是最基本的，复变函数，线形泛函，线形系统理论都是必修课。这些完成之后就可以学习鲁棒控制了，个人认为H2问题虽然应用少，但是理解了H2，H-inf就顺理成章，有的牛人讲课时，只讲H2问题，H-inf一笔带过。

[ 本帖最后由 cdwxg 于 2007-1-17 16:59 编辑 ]

xmwhit

看过一些 H-inf应用的文章，涉及到非线性系统的都是先进行线性化，结合楼主的观点，要想将H-inf 方法应用到非线性系统控制中，线性化应该是必需的吧？请指教。

ll_18301

非线性mimo系统泰勒展开，线性化（简单的可以取前两项），余项作为不确定项处理，这样设计系统时就方便多了，可以直接应用H-inf的理论，很多时候也是很有效的，而且可以在频域提出并满足指标。

目前为止，非线性控制仍然不成熟，线性系统地控制理论却是成熟的，其标志是H-inf理论，它的证明是在线性时不变系统中进行的。多变量强耦合线形系统中，H-inf理论与传统方法相比优越性很突出，在非线性系统中目前的H-inf理论也是不成熟的，不能直接应用。但它以最小化L2诱导增益为目标，还有它分析考虑问题的思路理论上确实是比其它方法优越。

线性MIMO系统控制器设计时，H-inf理论是一种很有效的方法，而且在理论上是一般性方法，可以应用到所有的线性MIMO系统。

[ 本帖最后由 ll_18301 于 2007-1-15 15:45 编辑 ]

xmwhit

ll_18301 的解释很到位，感谢！
不过这里倒是涉及到一个线性化问题。简单地说，就是某些情况泰勒展开的高阶项，不能简单地作为不确定项处理。
请各位继续发表高见！

superliu

如果有些好的资料学习就好了

ll_18301

线性化的方法还很多，泰勒展开只是一种简单的方法，将非线性系统线性化进而应用线性系统成熟的理论，这只是一种权宜之计，最根本的还是要在非线性系统里把问题解决掉，所有的线性化技术都存在误差，虽然我们可以用很多范数观测这种误差，但用线性逼近非线性对某些系统来说，问题还是解决不了的。

7651568

"其中H2问题（也是一种特殊情况的LQG问题）" ---------LQG是一种特殊的H2问题