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采样中加窗的意义和特点

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发表于 2007-2-21 17:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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    那位能解释一下,采样中加窗的意义和各种常用窗(如矩形窗和海宁窗)的特点,如何选择.. ..

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发表于 2007-2-24 12:49 | 显示全部楼层

信号截断、能量泄漏及窗函数

6.4 信号截断、能量泄漏及窗函数
6.4.1 信号截断及能量泄漏效应
  数字信号处理的主要数学工具是傅里叶变换。应注意到,傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而,当运用计算机实现工程测试信号处理时,不可能对无限长的信号进行测量和运算,而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段,然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理,得到虚拟的无限长的信号,然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。

                      图6.4-1
  周期延拓后的信号与真实信号是不同的,下面从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x(t)在时域分布为无限长(- ∞,∞),当用矩形窗函数w(t)与其相乘时,得到截断信号xT(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系,余弦信号的频谱X(ω)是位于ω。处的δ函数,而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数,按照频域卷积定理,则截断信号xT(t) 的谱XT(ω) 应为  (6.4-1) 

  将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X(ω)相比较可知,它已不是原来的两条谱线,而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后,其频谱发生了畸变,原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了,这种现象称之为频谱能量泄漏(Leakage)。
  信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的,因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数,所以即使原信号x(t)是限带宽信号,而在截断以后也必然成为无限带宽的函数,即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知,无论采样频率多高,只要信号一经截断,就不可避免地引起混叠,因此信号截断必然导致一些误差,这是信号分析中不容忽视的问题。
  如果增大截断长度T,即矩形窗口加宽,则窗谱W(ω)将被压缩变窄(π/T减小)。虽然理论上讲,其频谱范围仍为无限宽,但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快,因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时,则谱窗W(ω)将变为δ(ω)函数,而δ(ω)与X(ω)的卷积仍为H(ω),这说明,如果窗口无限宽,即不截断,就不存在泄漏误差。


          图6.4-2
  为了减少频谱能量泄漏,可采用不同的截取函数对信号进行截断,截断函数称为窗函数,简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关,如果两侧p旁瓣的高度趋于零,而使能量相对集中在主瓣,就可以较为接近于真实的频谱,为此,在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。
 
6.4.2 常用窗函数
      实际应用的窗函数,可分为以下主要类型:
      幂窗:采用时间变量某种幂次的函数,如矩形、三角形、梯形或其它时间函数x(t)的高次幂;
      三角函数窗:应用三角函数,即正弦或余弦函数等组合成复合函数,例如汉宁窗、海明窗等;
      指数窗。。:采用指数时间函数,如e-st形式,例如高斯窗等。
     下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。
(l) 矩形窗
  矩形窗属于时间变量的零次幂窗,函数形式为 (6.4-2) 
      相应的窗谱为 (6.4-3)

  矩形窗使用最多,习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中,缺点是旁瓣较高,并有负旁瓣(下图所示),导致变换中带进了高频干扰和泄漏,甚至出现负谱现象。

          图6.4-3
(2) 三角窗
     三角窗亦称费杰(Fejer)窗,是幂窗的一次方形式,其定义为 (6.4-4)
 
      相应的窗谱为 (6.4-5)

 
     三角窗与矩形窗比较,主瓣宽约等于矩形窗的两倍,但旁瓣小,而且无负旁瓣,如下图所示。

       图6.4-4
(3) 汉宁窗
  汉宁(Hanning)窗又称升余弦窗,其时域表达式为 (6.4-6)

 
      相应的窗谱为 (6.4-7) 
      由此式可以看出,汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和,或者说是 3个 sinc(t)型函数之和,而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了π/T,从而使旁瓣互相抵消,消去高频干扰和漏能。
  下图表示汉宁窗与矩形窗的谱图对比,可以看出,汉宁窗主瓣加宽(第一个零点在2π/T处)并降低,旁瓣则显著减小。第一个旁瓣衰减一32dB,而矩形窗第一个旁瓣衰减-13dB。此外,汉宁窗的旁瓣衰减速度也较快,约为60dB/(10oct),而矩形窗为20dB/(10oct)。由以上比较可知,从减小泄漏观点出发,汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽,相当于分析带宽加宽,频率分辨力下降。


             图6.4-5
(4) 海明窗
     海明(Hamming)窗也是余弦窗的一种,又称改进的升余弦窗,其时间函数表达式为 (6.4-8)
 
其窗谱为 (6.4-9) 
  海明窗与汉宁窗都是余弦窗,只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明,海明窗的第一旁瓣衰减为-42dB。海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成,但其旁瓣衰减速度为20dB/(10oct),这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。
(5) 高斯窗
    高斯窗是一种指数窗,其时域函数为 (6.4-10)
 
式中a为常数,决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当,可以使截断点(T为有限值)处的函数值比较小,则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣,第一旁瓣衰减达一55dB。高斯窗谱的主瓣较宽,故而频率分辨力低。高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号,如指数衰减信号等。
    除了以上几种常用窗函数以外,尚有多种窗函数,如平顶窗、帕仁(Parzen)窗、布拉克曼(Blackman)窗、凯塞(kaiser)窗等。
。。对于窗函数的选择,应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率,而不考虑幅值精度,则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗,例如测量物体的自振频率等;如果分析窄带信号,且有较强的干扰噪声,则应选用旁瓣幅度小的窗函数,如汉宁窗、三角窗等;对于随时间按指数衰减的函数,可采用指数窗来提高信噪比。
发表于 2007-2-24 12:53 | 显示全部楼层
以上资料来源:
在  中国精品课程导航  网站上
4.083  工程测试技术基础      华中科技大学  康宜华教授

相关的公式及图表见附件

信号截断 能量泄漏及窗函数.doc

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 楼主| 发表于 2007-2-24 15:19 | 显示全部楼层
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   谢谢szdlliuzm 的帮助... ..
发表于 2007-2-27 19:01 | 显示全部楼层
一句话,加窗是为了减小泄漏。

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发表于 2007-3-2 12:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 wdhd 于 2016-8-30 10:52 编辑

  窗的特性与选择特点,供参考!
图片1.png
图片2.png

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发表于 2008-4-7 10:34 | 显示全部楼层
已经下载阅读,谢谢这么多好心人:@D
发表于 2008-4-13 14:30 | 显示全部楼层

谢谢

太感谢了
发表于 2009-3-24 09:29 | 显示全部楼层
找了好长时间了 ,希望上面有汉宁窗的表达式
发表于 2009-3-24 09:33 | 显示全部楼层
个种窗都有各种窗的用处,如果能保证截取信号的整周期性,那最好是矩形窗,如果对幅度精度要求高,那flattop是最合适的,但是一般来说,我们对信号是未知的,此时最好的折中选择是汉宁

发表于 2009-3-24 23:31 | 显示全部楼层
有谁把窗类型里的英文翻译下,先谢谢了
发表于 2009-3-25 08:02 | 显示全部楼层

回复 12楼 huzilong 的帖子

ref to 2/6F!! ??
发表于 2009-3-25 21:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 wdhd 于 2016-8-30 10:52 编辑
原帖由 happyman 于 2007-2-27 19:01 发表
一句话,加窗是为了减小泄漏。

激励信号加力窗是为了减小干扰,而响应信号加指数窗是为了减小泄露
发表于 2009-10-10 21:27 | 显示全部楼层
好的,太好了,学习
发表于 2010-1-31 05:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 wdhd 于 2016-8-30 10:53 编辑
原帖由 xingyue0121 于 2009-3-25 21:11 发表

激励信号加力窗是为了减小干扰,而响应信号加指数窗是为了减小泄露


谢谢,学习了
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