[转帖]近世代数学习总结及感想

simon21 · 发表于 2005-10-24 07:59

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通过两个月的学习，我对近世代数的基本内容有了了解。下面是近世代数主要介绍的总结，主要包括以下几个方面： 
1.集合与映射 定义了集合、映射，介绍了关系、超穷数、势的概念。 集合是对一组元素的定义，而映射反映了集合与集合之间的关系。 集合与映射这组概念在建立关系模型的时候是非常有用的。 
2.代数体系及其比较 定义了代数运算、代数同态及代数同构，定义了代数运算的运算规则（结合律、交换律、分配率）。 代数运算是集合A与集合B的运算映射到集合C的运算方式（集合A、B、C可以是同一集合），而代数同态或同构反映了带有代数运算的映射间的关系。其中同构就可以看作为结构相似，代数同构的几何在代数构造上没有什么区别，可以看作为组划分的依据。 
3.群 定义了半群、群、子群和同态，介绍了变换群、置换群、循环群、陪集、不变子群、商群、对称群、交错群、正多边形群的概念。 群是满足结合律、单位元和逆元存在的一个非空集合连同其上一个二元运算。群同态和群同构是对两个群间的映射分别满足代数同态和代数同构的描述。 在自动机理论中有关于群和半群的应用，而在编码计算和快速加法器的设计中就用到了群的概念。 
4.环、域与代数 
 定义了环、子环、除环和域，介绍了理想、同态、剩余类环、交换环、代数、张量积德概念。 环在群的基础上定义。除了群中定义的加法运算以外，环中还定义了乘法运算。其中非空集合R及其上的加法要满足Abel群的定义，R及其上的乘法要满足半群的定义，并满足乘对加的左、右分配率。环同态和环同构是对两个环间的映射分别满足代数同态和代数同构的描述。 环在计算机和时序机的研究中有很多应用。
5.模与范畴
 定义了模、同态与正合序列，介绍了范畴、态射、函子的概念。 模是对群和环之间运算的定义。其数乘运算满足分配律和结合率（若R是环，M是Abel群，若其数乘运算 满足对 ， ，有 ， ， ，则称M为一个左R模）。模同态就是保持加、数乘两种运算的映射。而正合序列则定义了连续映射的关系。 范畴反映了同态的形式，它是对象所组成的类及对象间态射的总体，且满足态射的合成运算、态射的结合律、存在单位态射。而函子是从一个范畴到另一个范畴的保持适当结构的映射。 
 通过学习近世代数，我有如下一些感想： 1.学以致用，将其应用于专业
 我的专业方向是可靠性系统工程方向，对于这门学科而言，各种数学知识（尤其是概率与统计）对我们而言都非常重要。目前我们正在对保障性进行建模，在这个过程中数学功底可谓是非常重要的。但目前学习过程中最突出的问题就在于不知道所学的数学知识对我们的实际工作有什么样的应用（概率统计和优化理论的情况稍微好一点），这样就造成了在学习知识的过程中漫无目的。对于近世代数的学习也是如此，虽然这门课老师讲得很清楚，我听得也算是认真，定理定义能明白的也不少，但思前想后都不明白这门相对而言非常抽象的学科能在我们的专业领域有什么应用，感觉挺郁闷的。后来在阮传概老师编写的《近世代数及其应用》一书中的前言中看到了"近世代数课程不但在数学的各个分支有很多应用，而且随着计算机技术的发展，它在通信理论、计算机科学、系统工程等许多领域中也有广泛的应用"和"本书可作为通信工程、计算机科学、系统工程等有关专业的近世代数课程的教材"的介绍。虽然书中似乎没有具体提到如何将近世代数与系统工程联系起来的。但这仍让我感到非常激动，因为我发现现在所学的东西一定会派上用场。我想，学以致用是我们学习的关键所在。
2.理解体系结构 以前学代数的时候从来没有意识到代数是门很抽象的学科，总在练习的过程中靠点小聪明学过来，也由于这段路一直走得非常平坦（我对数学有很特殊的感情），我从来没停下来去想想其本身的理论体系的问题。现在想想，也许这就是我一直停留在考试成绩不错，却难以在稍大点的竞赛中有所作为的原因吧。所以有时走得太快可能未必时间好事。很可惜现在才了解到这一点，同时也还算幸运，毕竟人还在青年，还来得及改正。 学完近世代数，我印象最深的就是开篇所讲的"现代数学的重要发展趋势是公理化和结构化"，我想这是成之为一个体系的必然。不仅仅在数学上如此，在其它学科，包括我们所研究的五性（可靠性、维修性、保障性、安全性与测试性）也是这样。因此，在我们的研究工作中，如何建模成了非常关键的问题。世界上很多事物都是有共性的，我们要用类比的思想（建立"同构"的关系）对其进行分析，再由已知推及未知。这种方法论对于我们来说是非常重要的。因为我们目前所有的资料也不太多，所需要面对的工作又是综合性非常强的工作，很可能我们目前的专业背景还远远不够。在这种情况下，如果能建立类比的关系，通过已知推导未知，这将在很大程度上将我们的工作形象化，便于尽快地进入预定角色。 
 总的来说，学习近世代数的收获还是很大的，其一体现在专业上，其二体现在系统及其间关系把握上。数学几乎在每一个领域都有很重要的意义，在青年时期多多学习，会受益匪浅的。

多情清秋 · 发表于 2005-10-26 09:20

个人认为学习数学除了它是一种工具之外，它更加是一种思想。“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其实这方面大家都接触过的，在中学数学中，各种数学方法都体现着一定的数学思想，比如归纳法的思想等等。

renzhazero · 发表于 2005-11-3 09:32

无论什么工程中其实都需要用到数学．不管是数学的方法，工具还是思维．

qd0532aq · 发表于 2006-1-6 11:06

学以致用，十分重要

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