若已知瞬时频率与幅值，如何重构该信号？

huangyong87

原来认为这个问题很简单，若已知某一信号成分的瞬时频率F(t)与瞬时幅值A(t)，重构信号X(t)=A(t)*cos(F(t)*t*2*pi);即可。不想数值试验时发现，这只对瞬时频率F(t)为常量的情况适用，当瞬时频率F(t)为时变的情况，比如x=(1+0.6*cos(pi*t/100)).* cos(pi*t/5+4*sin(3*pi*t/200));有调频成分的情况，误差就十分大。
已知瞬时频率与幅值，如何重构该信号？请各位高人指点！

eight

原帖由 huangyong87 于 2007-5-4 18:21 发表
原来认为这个问题很简单，若已知某一信号成分的瞬时频率F(t)与瞬时幅值A(t)，重构信号X(t)=A(t)*cos(F(t)*t*2*pi);即可。不想数值试验时发现，这只对瞬时频率F(t)为常量的情况适用，当瞬时频率F(t)为时变的情况 ...

通过上述方法对原信号重构，有一个前提，就是调频不能受到调幅的影响，即原信号必须满足 Bedrosian 定理：解析信号的低频成分在幅度调制上，高频成分在相位调制上。

ps：对这个问题没有仔细研究过，所以上述观点不一定正确，仅供参考，呵呵。

playfish

我想过这个问题，其实就是HHT的逆变换问题。其步骤是：由于HHT中的瞬时频率是由瞬时相位微分而来，因此，要重构信号，首先要重建瞬时相位函数，即对瞬时频率积分，然后与幅度函数一起求得各IMF的解析信号，再把这些信号相加得到原信号的解析信号，取实部得到原信号。这时问题就出来了，先不管函数本身是否可积，积分后会带有常数项，这个常数项怎么确定是个令人头疼的问题。此外，采用什么积分方法也是个不好确定的问题。若瞬时频率函数不可积，这时要求瞬时相位就很麻烦。
这是我的思路，请eight兄指点。

eight

原帖由 playfish 于 2007-5-4 21:09 发表
我想过这个问题，其实就是HHT的逆变换问题。其步骤是：由于HHT中的瞬时频率是由瞬时相位微分而来，因此，要重构信号，首先要重建瞬时相位函数，即对瞬时频率积分，然后与幅度函数一起求得各IMF的解析信号，再把 ...

你的问题与楼主的不同，是另外一个问题。积分常数的问题，不会影响最终结果的吧？因为是出现在复部，而重构需要的是实部

playfish

假设f(t)是频率函数，a(t)是幅度函数，th(t)+c是f(t)的积分，c是常数。则imf的解析表达式为a(t)*exp(j*(th(t)+c)),由欧拉公式，此式等于a(t)(cos(th(t)+c)+j*sin(th(t)+c))，其实部是a(t)cos(th(t)+c)。从这里看常数项对实部是有影响的。

eight

原帖由 playfish 于 2007-5-4 22:21 发表
假设f(t)是频率函数，a(t)是幅度函数，th(t)+c是f(t)的积分，c是常数。则imf的解析表达式为a(t)*exp(j*(th(t)+c)),由欧拉公式，此式等于a(t)(cos(th(t)+c)+j*sin(th(t)+c))，其实部是a(t)cos(th(t)+c)。从这里看 ...

哦，对，我想错了。那能否不用求积分的方式恢复相位呢？

playfish

因为瞬时频率就是相位微分而来，在只知道频率函数的情况下，好像只能积分来求相位函数了。从这个角度说，HHT是没有逆变换的。

huangyong87

仍以信号x=(1+0.6*cos(pi*t/100)).* cos(pi*t/5+4*sin(3*pi*t/200));为例，其瞬时频率显然可以通过微分得到，为w(t)=0.1*2*pi+3*2*pi/100*cos(3*2*pi*t/400);如何通过积分得到瞬时相位P(t)=pi*t/5+4*sin(3*pi*t/200)是一个关键。若用数值积分计算w(t)的定积分将得到一个常数，而分微段求面积虽然能得到一个时变值，但结果似乎不对。这个积分该如何做呢？

eight

原帖由 playfish 于 2007-5-5 09:22 发表
因为瞬时频率就是相位微分而来，在只知道频率函数的情况下，好像只能积分来求相位函数了。从这个角度说，HHT是没有逆变换的。

按照这个说法，对于一种时频方法，只要频率是基于相位的求导得到的（事实上这是目前比较公认的定义），那么，它就没有逆变换了。从瞬时频率和赋值上重构信号，其可行性值得探讨

zhlong

可以参考由加速度信号积分得到速度信号，由速度信号积分得到位移信号的方法。
http://forum.vibunion.com/forum/thread-49413-1-1.html 里面有这方面帖子的链接！

破凰

要想进行重构，关键是要求出信号的初相位。

glwh

像小波系数一样逆变换？

ohaiou

hilbert变换揭示了实信号的Fouier变换的实部和虚部、幅频响应和相频响应之间的相互依性，即它们彼此不是独立的，存在着制约关系。

潘文杰. 傅里叶分析及其应用[M]. 北京：北京大学出版社，2000
程乾生. 数字信号处理[M]. 北京：北京大学出版社,2002