关于多自由度系统的特征值

咕噜噜

总是有人问有关系统特征值的问题，自己也看了些书，但是还是有不太理解之处
特征值多为正数和共轭复数，正数属常见无阻尼系统特征值，共轭复数为阻尼系统特征值，虚部表示系统的振动频率，实部表示系统解的稳定性特性，其大于零发散，小于零稳定。那么
1、会不会出现特征值为纯虚数的情形，这时实部为零，系统频率就怪了，临界状态？怎么解释？
2、会不会出现特征根为负数的时候，该怎么解释？
不清楚这是由于系统参数选择错误还是的确会出现这种情形。

[ 本帖最后由 无水1324 于 2007-6-3 10:07 编辑 ]

无水1324

出现纯虚数是可能的，这时候系统会出现动态分岔的过程，有临界分岔或者超临界分岔出现

马社

主任，书上应该是这样说的：
特征值的实部表示放大率（但一般是负值，衰减），虚部表示共振频率（大小）。
至于实部为零便表示该系统（或者环节）没有随时间变大或变小的趋势，而此时虚部不为零，说明有持续的正余弦振荡存在于系统中。

因为求解线性常系数微分方程时，我们并不能像代数方程那样直接用四则运算导出结果，而是给一个函数去凑，很幸运指数函数（或者说正余弦函数）能满足，所以按这种模式解出的特征值只能这样去解释。

能解出确定特征值的系统模型可能不会存在分叉，分叉应发生在存在多个变量或非常系数系统中。

请明查。

gghhjj

原帖由 无水1324 于 2007-6-3 10:09 发表

                               
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出现纯虚数是可能的，这时候系统会出现动态分岔的过程，有临界分岔或者超临界分岔出现

和这个未必有关系，搞清楚

Aexp(x+jy)是怎么回事就知道特征值对应的是什么情况了
搂主说的情况都是存在的，不过比较特殊

xmwhit

特征根肯定是什么样儿的都有。
既然特征根的实部和虚部都有明确的物理含义，那么实数（不管正负）的情况只需将虚部看作零，按楼主说的就应该没有振动。而纯虚数就对应实部为零的情况，这时系统有可能稳定，有可能不稳定。

咕噜噜

正是因为实部和虚部都有明确的物理含义，所以才要比较明确的知道实部为复数时的物理含义是什么

xmwhit

可能在系统论里面有特殊的定义。
但在数学上没有实部为复数这种说法。复数由实部和虚部组成，表示为 a+bi 。
实部是实数a，虚部为实数b与i的乘积。
纯虚数对应于a=0的情况。实数对应于b=0的情况。它们都是复数的特殊情况。
大家请指教。

咕噜噜

不好意思，打错字了，是实部为负数的物理意义:@L :@L

xmwhit

个人觉得，特征根的实部和虚部的物理含义不会变，正如楼主所讲
“虚部表示系统的振动频率，实部表示系统解的稳定性特性”，若是这样，特征根要是负数，那系统肯定是稳定的，且不会呈现出振动的特征。
那么按楼主的意思，应该是探讨负数特征值对应哪种系统这样一个问题，我也想知道，请高人指教！

另外，在系统稳定性理论中，稳定性只是针对平衡点说的，如果系统以非线性方程形式给出，那么在某个平衡点附近线性化，取一阶项的系数，一般为Jacobi矩阵，该矩阵的特征值就反映了系统在该平衡点附近的稳定性：正实部对应不稳定，负实部对应稳定，零实部即纯虚数对应的情况稍微复杂，需满足附加条件才可以稳定。

[ 本帖最后由 xmwhit 于 2007-6-4 08:48 编辑 ]

咕噜噜

的确，主要是不清楚负数特征值和纯虚数特征值对应什么样的系统
如此系统会出现什么样的动力学长期特性

无水1324

觉得有些概念我是不是都搞反了

咕噜噜

非线性的概念本来就多，就很复杂，搞错了现在纠正过来就好了啊
纯虚数的特征值系统也应该是振动的吧？不振动吗？

无水1324

原帖由 咕噜噜 于 2007-6-4 10:47 发表

                               
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非线性的概念本来就多，就很复杂，搞错了现在纠正过来就好了啊
纯虚数的特征值系统也应该是振动的吧？不振动吗？

　　
哈哈
向你学习！

鼻涕佛

论坛附件，只能在编辑状态下，才能贴上去，看来功能还有改进的余地

[ 本帖最后由 鼻涕佛 于 2007-6-4 15:25 编辑 ]

咕噜噜

^_^，这个与我讨论题目无关了啊
论坛附件在回复功能里面可以贴上去的，快速回复就是快速回复，不提供附件功能，请谅解