[讨论、交流]非线性数学方法

无水1324

     本来该帖是作为本版分类调查用的，现在在各位的支持和关心下本版的分类大致已经决定。所以将此帖子转换为一个讨论的帖子，欢迎大家继续关注、关心本版！




经小咕和我的调查分析，决定将我们板块的主题进行分类，将各分类内容介绍如下：
期待大家给出真诚的意见，谢谢！
1、近似方法
1)、直接摄动法、Lindstedt-Poincare摄动法
2)、平均法
3)、多尺度法
4)、Garlerkin法与谐波平衡法
5)、其它方法
注：本分类主要是介绍研究非线性问题的近似解析方法。

2、运动稳定性与分岔
（1）混沌分析
研究混沌的主要方法是利用动力系统分岔图、Poincare相图、功率谱、Lyapunov指数、分形维数等。
注：本分类主要是介绍研究混沌的一些数值方法。
（2）
1)、L-S约化方法
　　是将高维或者无限维方程化为低维的降维方法，它的基本思想是：通过空间分解方法，把非线性方程分别投影到两个子空间上，得到两个方程；由隐函数定理，其中一个方程总是有唯一解的；把这个解代入另一个方程，得到一个较低维德方程，这就将原来的方程的求解问题得以简化。
２)、中心流形方法
　　中心流形方法是动力系统理论的一个重要内容，重点介绍稳定流性、不稳定流性和中心流形和动力系统降维的中心流形方法。中心流形方法与L-S约化方法略有不同，L-S约化方法是对值域空间进行分割，最后研究向量场在值域的补空间上的投影方程；而中心流形方法是利用流形与对应自空间相切的特性，求出系统在中心流形上的约化方程。
３)、规范性方法
　　又称Poincare-Birkhoff范式方法，简称PB范式方法。在平衡点附近，用近似恒同的非线性变换将常微分方程化简，只保留共振项使得到方程的ＰＢ范式，这种方法适合于研究局部分岔。对于高维系统，在使用之前要用中心流形法降维。
４)、奇异性理论
　　是处理静态分岔的有效方法
５)、胞映射方法
把动力系统的研究转化为在相空间中胞映射性态的研究，它需要计算去实现，其基本理论不涉及过多的抽象数学。应用范围广，尤其在动力系统的全局分析。因此它是全局分岔、混沌、吸引子和动力系统瞬态研究的一种有效方法。
注：本分类主要是介绍研究混分岔问题的一些方法。

3、数值仿真
　　1)、（非）线性代数方程（组）的求解，涉及多解问题；
      2)、（非）线性（偏）微分方程（组）的特殊算法：ＲＫ法、打靶法、精细积分法等；
      3)、其它相关算法问题。
      4)、相关语言程序，包括matlab、c等
注：本分类主要是介绍研究方程解的一些算法及编程问题。

4、参数激励
     参数激励在工程中是一种重要的非线性形式。以往研究较多的时变参数振动系统主要是参数随时间作简谐变化的缓变系统，它们通常可以用适当的摄动方法处理，至于参数随时间作非简谐变化的一般情形研究很少。研究表明，参数时变对系统的动力学行为有很大影响，例如，定常分岔图一般不再保持，出现分岔转迁滞后或跳跃现象，振动对初值和参数变化规律有明显敏感性，记忆效应、双稳态、动滞后环、脉冲振动等。至于参数时变规律对吸引子、吸引域和安全盆的影响也很大。对于一般的时变参数振动系统，拟静态处理方法已不再适用，奇异摄动方法也有很大局限性。为此，应当加强对时变参数系统动力学的机理的定性和数值研究。
注：本分类主要是应陆启韶教授在2006-2007力学发展报告提出未来非线性的研究方向而提出。重在引起大家在这方面的深入研究。
5、基础数学
     包括基础数学相关概念例微分、积分及其求解，线性代数、概率论与数理统计、范函分析、数值分析、复变函数等等
6、计算数学

7、综合讨论
     包括数学与非线性数学的学术术语、概念，个人经验总结及其他

[ 本帖最后由 无水1324 于 2007-6-14 19:47 编辑 ]

咕噜噜

还请大家多多建议，以便于数学与非线性数学板块的管理和新手们查阅历史贴

gghhjj

感觉不太合理，版主主要只考虑了非线性问题，数学方面没做考虑
本版还是有不少其他数学方面问题的

无水1324

原帖由 gghhjj 于 2007-6-6 07:20 发表

                               
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感觉不太合理，版主主要只考虑了非线性问题，数学方面没做考虑
本版还是有不少其他数学方面问题的

  对，我们的侧重点是一些非线性的数学问题，还有一些数学问题，可能是不熟悉的缘故，没有仔细的划分！
  那你看一下还可以增加一些什么内容？谢谢！

xmwhit

难得两位如此细心，将数学与非线性科学版管理得非常棒，佩服！
      对于板块主题分类，本人觉得比较具有挑战性。记得当初cdwxg院长倡议将控制理论及应用版块分类的时候，也下了一番功夫。而对于数学与非线性科学，数学本来分支就够多的。例如基础数学，应用数学，计算数学，运筹学等，再加上一个非线性科学，可想而知这样的版块其实内容丰富的不得了！
      不过，咱们论坛现阶段毕竟偏重于应用，个人觉得应用数学和计算数学一定要体现出来。像楼主提到的定量计算和数值仿真皆属于计算数学范畴，运动稳定性与分叉属于应用数学研究的范畴。
      但既然称为数学，个人觉得主题名称在考虑论坛讨论热度的同时，也应该起得稍微大气一些，如定量计算和数值仿真不妨合为一起叫做数值分析（或计算方法），包括线性及非线性问题的算法及方程的数值解法。对于运动稳定性与分叉，其仅仅是应用数学里面非常小的一个分支，大范围来讲该称为微分方程定性理论，如果两位觉得非要拿出来单独成为一类，可以叫做系统稳定性与分叉。
      混沌是非线性科学研究的热点，赞成单独拿出来。参数激励是一个特色，可以看出两位版主对此有些研究心得，相信在两位的带领下该研究方向的队伍会越加庞大！基础数学是必须有的，尽管研究的人很少，但非常重要！非常希望能有拓扑，代数以及泛函方面的研究人员参与论坛的建设。再有，也可能是本论坛主题方面的原因，几乎没有运筹学方面的内容。实际上概率与统计，线性与非线性规划的实用性也非常强，但是现在拿出来可能会用不上，希望将来能弥补这个缺陷。
      同时希望其他有一定数学功底的人出来说说自己的想法，也建议两位版主能多查一些资料，多了解一些信息，实际上主题分类很重要，直接影响版块未来发展的趋势，因此本人带着完善论坛建设的愿望，说了点自己的看法，仅供参考！

无水1324

非常感谢您的中肯的意见，我和小咕子会对此作出必要的修改！谢谢！

gghhjj

1、定量计算
名称不是很合适，数值分析也属于定量分析

3、运动稳定性与分岔
建议改为稳定性和分岔，因为稳定性不仅仅是运动稳定性这一种

4、数值仿真
相关内容不是很合适，按照这一说法的话，本版要并吞算法原理及编程的嫌疑
另外它实际上也就是基础数学的一部分

5、参数激励
和一般力学和振动理论版交叉过大
同时也是及本版很多其他主题是交叉的
他和其他主题的分类标准格格不入

6、基础数学
建议改为数学基础
或者分为基础数学和应用数学两方面
基础数学包括：概率统计、计算数学、几何和拓扑、代数数论组合、数学分析、微分方程
应用数学包括：运筹学、数学模型、控制论和信息论、动力系统理论、组合和图论

个人认为，当前给出的分类不是非常合适，和其他版面交叉过多，同时有不少遗漏，没有体现本版的特色
容易造成本版内容过于杂乱，同时又影响其他版面的发展

[ 本帖最后由 gghhjj 于 2007-6-7 05:21 编辑 ]

xmwhit

以下资料来自 维克 和 百度百科 仅供参考：

应用数学
应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何應用數學知識到其他範疇（尤其是科學）的數學分枝，可以說是純數學的相反。包括微分方程、向量分析、矩陣、傅利葉變換、複變分析、數值方法、概率论、数理统计、运筹学、控制理论、组合数学、信息论等许多数学分支，也包括从各种应用领域中提出的数学问题的研究。计算数学有时也可视为应用数学的一部分。 圖論應用在網絡分析，數論應用在密码学，博弈論、概率論、統計學應用在經濟學，都可見數學在不同範疇的應用。

计算数学
计算数学是数学的一个分支，研究的内容包括设计和分析算法以及数学建模等，目的是为了在实际工程中利用快速稳定的算法得到精确值的近似值。
计算数学的几个主要方面

- 逼近论与函数逼近
- 非线性方程求解
- 矩阵及特征值理论
- 最优化及其算法
- 微分方程及其数值解
- 建立在上面基础之上的数学建模及其应用

无水1324

原帖由 gghhjj 于 2007-6-7 05:05 发表

                               
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1、定量计算
名称不是很合适，数值分析也属于定量分析

3、运动稳定性与分岔
建议改为稳定性和分岔，因为稳定性不仅仅是运动稳定性这一种

4、数值仿真
相关内容不是很合适，按照这一说法的话，本版要并 ...

谢谢你！提出的意见，我们会考虑的

无水1324

原帖由 xmwhit 于 2007-6-7 09:00 发表

                               
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以下资料来自 维克 和 百度百科 仅供参考：

应用数学
应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何應用數學知識到其他範疇（尤其是科學）的數學分枝，可以說是純數學的相反。包括微分方程、向量 ...

     应用数学与计算数学在这里不好分，因为做非线性差不多都算应用数学里面的，记得当初学应用数学，老师全部讲的都是非线性的东西、还有计算收敛等等问题。

无水1324

针对这段时间，大家提出的意见，我们将分类进行了修改，主要分为以下几块：
1、近似方法
2、运动稳定性与分岔
3、数值仿真
4、参数激励
5、基础数学
6、计算数学
7、综合讨论
    详细的介绍见1#，
    同时也欢迎大家继续提出您宝贵的意见，关注本版的建设。谢谢！

shenyongjun

呵呵，有一段时间不来了。看来无水肯定是一个合格的斑竹！

咕噜噜

数学的东西涵盖内容比较广泛，所以还请大家多多提建议

无水1324

多谢，申老师的夸奖，以后多批评指导工作，在学习上也要多指导！

花如月

好深奥哦，我发的那个帖子估计是分错类了