如何得到NIntegrate[sin[1/x],{x,0,Infinity}]的正确结果？？

ysyzhb

如题，积分后总是有一些警告，说明结果不是精确值，虽然有时候相差不大。如何能得出此类函数的正确数值积分结果呢？？望高手回复！

hunter_009

我用maple计算发现,这个积分不收敛.为无穷大.

hunter_009

可以作如下的的解答.
令t=1/x,dx/(-x^2)=dt,原式=int(sint(t)/x^2,t=0..infinity),在t很小的时候截断分成两项,如t=1.0e-3时,
原式=int(sin(t)/t^2,t=0..1.0e-3)+int(sin(t)/t^2,t=1.0e-3..infinity)
因为sin(t)<=1,所以上式积分第二项的极限存在,
而t很小时,sint(t)约等于t,所以上式第一项可化为:
int(1/t,t=0..1.0e-3)
1/t的原函数为ln(t),,当t趋于0时,in(t)趋于负无穷,因此第一项的极限不存在.
因此整个积分的极限不存在,不过上式也给出了当x很大时(t很小时)积分的近似表达式.

ysyzhb

非常感谢hunter仁兄的回答！题目中的函数是一个代表，代表有奇异性、振荡性的函数，精确积分肯定是算不出来的，但我想计算它的数值积分。我看到一篇文章里对类似函数的积分是这样的：先把它转换成线性代数方程式，然后利用辛普森法求积，并将区域离散成若干个区域，因为文章中的被积函数是快速振动函数，所以数值积分时在布里渊区(Brillouin zones)上进行，这样就收敛了，然后矩阵求逆用的是高斯消去，而不是迭代。
       我不是学数学的，所以这一系列我都不太明白，具体实施我并不知道，还望高手回答！！谢谢！！

hunter_009

振荡积分你应该找一些专门的数值计算方面的书看一些,一般有分部积分变换与飞龙(filon)等等方法来处理,具体的参照专门的书籍.
我不知道你说的布里渊区是什么,这好像是晶体物理学上的一个概念,怎么用到数学上来了.

ysyzhb

是的，是物理上的一个概念，但文章里就是这么写的，Eringen的‘Crack-tip problem in non-local elasticity.’。我有一本《现代数值计算方法》，北京大学出版社。书里有关数值积分的部分：牛顿－柯特斯公式；龙贝格求积公式和高斯型求积公式。这些方法是不是只有通过编程才能实现在计算机上？那我如何知道mathematica中NIntegrate[]用的是什么方法呢？

[ 本帖最后由 ysyzhb 于 2007-6-10 14:38 编辑 ]

suffer

首先，正如hunter_009所说你给的这个积分是无穷的，无法给出正确解来

第二个问题，你说的算法问题，帮助中就有，以下是翻译成中文的

NIntegrate通常使用一个自适应算法，该算法按需要递归地对积分区域进行划分. 在一维情形，GaussPoints指定要选择的初始点数目.GaussPoints的缺省设置是Floor[WorkingPrecision/3]。在任意维数下，MinRecursion指定试图进行的递归划分的最小数目。MaxRecursion给出最小值。

ysyzhb

谢谢了！看来还得多看帮助啊！

suffer

原帖由 ysyzhb 于 2007-6-14 19:26 发表

                               
登录/注册后可看大图

谢谢了！看来还得多看帮助啊！

其实现在大部分软件帮助都有很明确的说明