[讨论]Hopf分岔问题

无水1324

如题：
假如在平衡点x0处的导算子有四个特征值，有一对恒为虚数，另一个可能为共轭复数。问
1、一般看到的都是存在非双曲平衡点、满足分岔条件。然后分析其分岔行为：如求取分岔集、转迁集什么的。假如不满足Hopf分岔条件，该怎么样进一步分析系统的分岔行为。
2、存在Hopf分岔后，发现分岔参数在某一范围之内都满足Hopf分岔条件，那又该怎么用数值的方法去说明这点确实存在呢？

欢迎在学习定性分析及分岔理论的朋友参与讨论交流 ！

[ 本帖最后由 咕噜噜 于 2007-6-14 18:53 编辑 ]

无水1324

没有人来，自己顶，
首先给出一个概念，
双曲平衡点：导算子中无0实部特征值的平衡点。非双曲平衡点则反之。

flybaly

原帖由 无水1324 于 2007-6-11 08:56 发表

                               
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如题：
假如在平衡点x0处的导算子有四个特征值，有一对恒为虚数，另一个可能为共轭复数。问
1、一般看到的都是存在非双曲平衡点、满足分岔条件。然后分析其分岔行为：如求取分岔集、转迁集什么的。假如不满足 ...

1、如果一对衡为虚数，则要分析另一对特征值的实部，判断系统的稳定性。
如果大于零不稳定，小于零如要分析其稳定性则要用中心流形定理降维等判断，等于零属double hopf分叉。
接下来应该分析周期解的分叉了，floquet理论，判断特征乘子的模和一的关系。
还是有很多工作可以做的。
2、理论上讲，可以改变其它的控制参数让平衡点跳过hopf分叉，两种数值结果一定是要么是平衡点要么出现极限环。

无水1324

感谢flybaly的回答
1、我计算出来的有一对是无条件地满足虚数条件。另外一对的实部也是满足小于0的条件。
   根据Hopf分岔定理，当分岔变化时，实部的导数的符号会发生改变，也就是说，可能满足Hopf分岔，也有可能不满足Hopf分岔定理。这时候我们是不是学要分析在满足Hopf分岔区域内，用数值方法分析此时系统表现出来的动力学特性。在不满足区域也同样。那么怎么样可以清楚得看出来分岔的过程的？
我现在在考虑用中心流形来做，但是还没有做完。
2、 不知道你所谓的改变参数使平衡点跳过Hopf分岔是什么意思？

flybaly

如果是无条件满足虚数的话，也就是p(Re(lambda))/p(mu)==0（p表示求偏导，汗），不满足hopf分叉的条件吧？！这种情况下，平衡点应该是不稳定的。不知道你的数值结果是怎么样。。。
这种情况下讨论二没有太大的意义了。

mu为变化的参数。Re(lambda(mu))==0。
公式编辑不是怎么方便。

[ 本帖最后由 flybaly 于 2007-6-11 12:59 编辑 ]

无水1324

我的意思是有一对是纯虚数，还有一对含有实部的复数

flybaly

原帖由 无水1324 于 2007-6-11 13:06 发表

                               
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我的意思是有一对是纯虚数，还有一对含有实部的复数

即
(lambda#i*w)*(lambda#(a#i*b))=0
其中#表示正负.另a<0.
是这个意思吗？
呵呵
要分析hopf分叉，要满足
1、非双曲平衡点
2、p（Re(lambda(mu))）/P(mu)!=0.
而现在以你的意思第二个条件不满足吧

无水1324

Hopf分岔定理是说：
平衡点的导算子A(u)，在u=0附近有特征值a(u)#i*b(u)，使得a(0)=0,b(0)=b0>0, da(u)!=0.
这个定理是说有，也就是存在一个就可以了，我上面就是有一对满足这样的条件的。应该是存在Hopf分岔的

无水1324

不知道是不是我理解错误？
其多指教！

无水1324

谢谢，flybaly！
我知道我的问题了！

无水1324

再次请教：不满足Hopf分岔条件，那我要继续分析其分岔行为，需要朝哪方面考虑，谢谢！

flybaly

原帖由 无水1324 于 2007-6-11 19:19 发表

                               
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再次请教：不满足Hopf分岔条件，那我要继续分析其分岔行为，需要朝哪方面考虑，谢谢！

不客气。
我怀疑你的这个平衡点是不稳定的，你发个数值结果上来。
有相同的零实部的特征值的话，其解应该是(1+t)*exp(lambda*t)，是不稳定的。

都是不稳定的平衡点的话，那么就不会出现分叉（如果像你说的第二对的特征值的实部总小于零的话）。
要么你把问题描述的详细一些，不然我也凭空想象不出。。。

[ 本帖最后由 flybaly 于 2007-6-11 20:08 编辑 ]

无水1324

这就是那个导算子矩阵

无水1324

在一定的条件下3、4个特征值是复数

flybaly

只分析第二对特征值的稳定性即可。
因为第一个自由度好像是简谐振动，其平衡点类型是中心。