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[其它软件] 计算机代数系统 MAXIMA

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发表于 2007-6-29 01:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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计算机代数系统 (CAS) 已经成为应用数学不可缺少的工具,常见的计算机代数系统有 MAXIMA, Mathematica, Maple, MuPAD, Reduce, AXIOM, Derive 等。
下载地址
        MAXIMA 可以在 http://sourceforge.net/projects/maxima 免费下载。如果不是从源码安装,你需要下载一个 maxima 和一个 maxima-exec 包。推荐用 maxima-exec_gcl-*,因为用这个你不需要再安装 LISP 解释器了。

MAXIMA 的历史
        MAXIMA 是由 DOE-MACSYMA 演变而来的。MACSYMA 是 MIT 在 60年代末创造的一种 CAS。它是用 LISP实现的。MACSYMA 早期的赞助包括 ARPA, DOE, ... 它运行于一台 ARPAnet 早期的PDP-10主机上。 一直以来MACSYMA 都是世界上最大的 LISP 程序,用于公式推导和符号计算。
        但是由于 MIT 1982年的时候决定把MACSYMA变成一个关闭源码的商业程序,帮助销售 LISP 机器。所以产生了很多 MACSYMA 的分支,比如 VAXIMA,MAXIMA, ... 商业利益的诱惑使得 MIT 从 Berkeley 收回了 50 份正在使用的MACSYMA 系统,引起很多人不满,使人想起了当年 AT&T 在 UNIX 身上的作法。同时也直接导致了 Richard Stallman 从 MIT 辞职,创立自由软件基金会(FSF)和GNU项目,这样才会有我们今天使用的 GNU/Linux.
        商业的 MACSYMA 是由 Symbolics Inc 销售的,后来是 Macsyma Inc,但是Macsyma Inc 在 1999 年突然不明原因的解体了,程序员各奔东西,众多的用户失去了支持。
        现在的MAXIMA 是 MACSYMA 的一个 GPL 的衍生版本,它是自由软件。它就是 MACSYMA 未来的希望。虽然以前有REDUCE, CAMAL, Mathlab-68, PM, ... 但是 MACSYMA 在Mathematica 和 Maple出现以前显然是没有对手的。但是现在似乎Mathematica 和 Maple 已经挤垮了 MACSYMA。不过各有各的好处,你继续看下去就知道MAXIMA 哪些地方比 Mathematica 和 Maple 好。
        由于 MAXIMA 就是 MACSYMA 的一个版本。下文中我们的 "MAXIMA" 和 "MACSYMA" 两个单词可以互换。

[ 本帖最后由 suffer 于 2007-6-29 01:24 编辑 ]
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 楼主| 发表于 2007-6-29 01:24 | 显示全部楼层
MAXIMA 简介

MAXIMA 是完全可以跟 Mathematica 和 Maple 比美的 CAS。实际上 Mathematica 和 Maple 的很多优点都是从 MACSYMA 身上学来的。

   1. 严密的逻辑

      Maple 和 Mathematica 经常做错的东西,MACSYMA 经常会给你一个合理的答复。当然它也会做错。小心!计算机代数系统给出的答案都有可能是错误的,不能完全依赖它们。

      你可以试试积分: integrate(x^i,x) 和 Integrate 1/sqrt(2-2*cos(x)) from x=-pi/2 to pi/2。 Mathematica 4.1 会立即给你一个不完全正确甚至错误的答案。

      在这种情况下,MAXIMA 的表现要聪明的多,因为它毕竟有几十年的经验。MAXIMA 缺省是一个非常严密的系统,如果你要积分:

      integrate(x^i,x);

      MAXIMA 会问你:

      Is  i + 1  zero or nonzero?

      这是因为现在我们不知道 i 是否等于 -1。如果 i=-1, 那么这个积分应该等于 LOG(x),其中 LOG 是 MAXIMA 的自然对数符号。如果 i 不等于 -1,那么积分应该等于

                                           i + 1
                                          x
                                          ------
                                          i + 1

      这样每次都要问你有时很麻烦,你也可以告诉它,没有特殊指明的情况下,假设积分里的符号都是正数:

      ASSUME_POS: True;

      它以后遇到 integrate(x^i,x); 就会直接给你

                                           i + 1
                                          x
                                          ------
                                          i + 1

      而不会再问你问题了。
   2. 方便的推理

      不仅严密,而且 MAXIMA 有比 Mathematica 和 Maple 方便的推理系统。你跟 MAXIMA 就像在对话:

      看看这个例子:如果A>=B, B>=C, C>=A, 那么 A=C 吗?

      (C1) ASSUME(A>=B, B>=C);

      (D1)                           [A >= B, B >= C]
      (C2) ASSUME(C>=A);

      (D2)                               [C >= A]
      (C3) IS(EQUAL(A,B));

      (D3)                                 TRUE

      另一个例子: 如果 x>y, 那么x^2 >y^2 吗?

      (C4) ASSUME(x>y);

      (D4)                                [x > y]
      (C5) IS(x^2>=y^2);

      MACSYMA was unable to evaluate the predicate:
       2     2
      x  >= y
       -- an error.  Quitting.  To debug this try DEBUGMODE(TRUE);)

      MAXIMA 不能回答你,因为 x,y 的符号未知。 现在你告诉它 x 和 y 都是正数:

      (C6) assume(x>0, y>0);

      (D6)                            [x > 0, y > 0]
      (C7) is(x^2>y^2);

      (D7)                                 TRUE

      这下它告诉你答案了。

      它可以根据一些事实来化简式子。我们有这样一个复杂的式子:

      (C11) EXP:-K^2*L^2*M^2*N^2-K^2*L^2*N^2+K^2*M^2*N^2+K^2*N^2
                           2  2  2  2    2  2  2    2  2  2    2  2
      (D11)             - K  L  M  N  + K  M  N  - K  L  N  + K  N

      我们还有两个简单的事实:

      (C12) EQ1:L^2+K^2 = 1
                                         2    2
      (D12)                             L  + K  = 1
      (C13) EQ2:N^2-M^2 = 1
                                         2    2
      (D13)                             N  - M  = 1

      让它根据这两个事实化简第一个式子:

      (C14) SCSIMP(EXP,EQ1,EQ2)

      得到一个很简单的答案:

                                            4  4
      (D14)                                K  N

   3. 抽象代数

      在你还没有函数的定义时,你就可以声明这个函数的一些性质。这样你可以在很多时候大大简化结果。比如,你可以声明一个函数是奇函数:

      (C1) DECLARE(F,ODDFUN);

      (D1)                                 DONE
      (C2) F(-A);
      (D2)                                -F(A)

      F(-A) 以后简化时就可以被当成 -F(A)。你再声明 F(X) 是 OUTATIVE:

      (C5) DECLARE(F,OUTATIVE);

      (D5)                                 DONE
      (C6) F(3*A);

      (D6)                                3 F(A)

      这样,F(3a) 可以被当成 3F(a)。综合以上两个事实,我们可以得到:

      (C7)  F(-A)+F(2*A)-F(A);

      (D7)                                   0

      如果你告诉 MAXIMA,n 是一个整数,那么它就知道 sin(n pi) = 0.

      (C1) declare(n,integer);
      (D1)                 DONE
      (C2) sin(n*%pi);
      (D2)                  0

      你甚至可以定义自己的操作符,它可以有中缀,前缀,后缀,nary等各种方式,可以有任意的优先级,可以设定它是左结合还是右结合。比如我们来定义一个NARY操作 "&",它的优先级是180(缺省),它是右结合的。

      (C6) NARY("&");

      (D6)                                  "&"
      (C7) declare("&",RASSOCIATIVE);

      (D7)                                 DONE
      (C8) x&y&a&b;

      (D8)                          x & (y & (a & b))

   4. 超强的扩展能力

      另外,MAXIMA 是可以用自己的语言或者 LISP 进行扩展的。比如你可以用 recur 包来推导递推关系:

      (C8) load(recur);

      (D8)          /usr/share/maxima/5.9.0rc3/share/algebra/recur.mac

      现在我们来解一个“快速排序”的时间复杂度分析里出现的简单的递推关系:

      T(0)=0
      T(N)=2*T(N-1)+1

      这样输入到 MAXIMA:

      (C14) CHAR(T(N+1)-2*T(N),1,T,N,1,[T(0)=0]);

                                               N
      (D14)                            T(N) = 2  - 1

      这个 recur 实际上只是一个200多行的小程序,就可以帮你处理线性递推关系,生成函数……

      MAXIMA 有函数式的程序语言,它比通常的过程式语言要强大的多。你甚至可以接触到它底层的 LISP。Mathematica 的语法就是跟 MACSYMA 学来的。

      MAXIMA 完全是用 LISP 语言写的,所以它继承了 LISP 语言天生的特征。它分为上下两层,上面一层叫做 MAXIMA level,下面一层叫做 LISP level。上下两层是相通的,如果你懂得 LISP,你可以随时按 Ctrl-C 进入到 LISP 的环境,定义一个函数,然后退回到 MAXIMA 层调用那个函数。当然在 LISP level 还有很多工作可以做。你也可以在 MAXIMA level 定义了函数,然后在 LISP level 进行调用。

[ 本帖最后由 suffer 于 2007-6-29 01:26 编辑 ]
 楼主| 发表于 2007-6-29 01:27 | 显示全部楼层
资料

MAXIMA 跟商业的 MACSYMA 的功能基本相同。如果你有商业的 MACSYMA 那就可以用它的手册。如果你没有,就只好看 MAXIMA 自带的 manual 了。那个 manual 不容易看懂。这里有一个 MAXIMA book,是从MAXIMA的 cvs 下过来的 TeX 文件生成的。可以作为参考。

点击这里下载 MAXIMA book

更多的 MAXIMA 资料可以点击我的 MAXIMA WiKi 页

转自:http://docs.huihoo.com/homepage/shredderyin/maxima.html
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