变分原理有什么性质?

xiaoyuewei2001

请问一下变分原理中的变分有什么性质?

无水1324

函数的微分dy仅是两个点之间函数值的差别，而函数的变分δy是两个函数之间的差别。

中原

我的理解就是给出一个比拟，最小二乘法就是一堆离散的数据和某一曲线靠的越近越好，得出的曲线就是较好的拟合曲线；
提起变分，首先想到的是有一族曲线，然后根据问题所限定某些条件，找出这族曲线的最佳曲线，显然变分法已经上升到另外一个层次，它操作的是函数（而我们一般操作的是数字），所以又必须提到泛函（我的理解是函数的函数），比如y=y(x)是一个函数，那其泛函φ=φ[y（x）]，但不要把它理解为复合函数，因为y(x)并不是一个确定的形式，它是满足限定条件的所有类型函数；
最后就是你所求的问题了，寻找适合问题的最佳函数，对泛函φ求极值（好像是牛顿法）；
变分法这种限定往往是某种公理或，大家发现的普遍规律，比如能量最小（好像宇宙的自然平衡都是尽可能使其能量最低，包括原子核内部）
最后，力学中的变分方法，最常用的限定条件就是能量最小原理，即寻找是力学问题中能量最小的那个描述函数。

变法分真是人类对哲学思考后实践（本人语，见笑了）:lol

变分法具体的性质无非就是在泛函φ求极值是用到的一些公式（可以参阅以下这方面的书籍）:handshake

无水1324

原帖由 中原 于 2007-7-1 10:42 发表
我的理解就是给出一个比拟，最小二乘法就是一堆离散的数据和某一曲线靠的越近越好，得出的曲线就是较好的拟合曲线；
提起变分，首先想到的是有一族曲线，然后根据问题所限定某些条件，找出这族曲线的最佳曲线， ...

对变分就是针对泛函数里面的内容来说的，与微分有一定的差异而已

中原

当然，虽然性质上有些类似之处，但根本上还是不同，一个操作自变量，另一个操作的是函数。说的笼统一些（或不严格些），变分法是比微分更高一个层次对微分概念扩展操作:handshake

★阿翠★

将变分和微分对照着学习会有助于理解。卓家寿教授的《弹塑性力学中的广义变分原理》中有比较清晰的介绍，可供参考。

无水1324

恩，对，我也是一直没有准确的区分二者，谢谢！