[讨论]各种有限元法有些什么区别？

linlin820

常规有限元
有理有限元
样条有限元
Trefftz有限元
有限条法
无限单元法
奇异元

看了jeffjuju的大作才知道有限元法还有这么多讲究，谁能大概说说上述各种有限元法之间的联系和区别？

linlin820

另外还有随机有限元和非线性有限元吧

jeffjuju

这两天我一直在总结各种有限元的东西，因为自己并不是做这个方向的（我做cfd的），所以并不想在这里编程，只是想掌握众多方法的区别和联系，以及各自的优缺点。

看下来觉得各种方法都是基于从微分方程--〉积分方程--〉这样一个过程
它们的区别都在以下三个角度：

1。积分形式不同
(1)加权残数形式：就是直接用一个权函数乘以原本的微分表达

引出了：最小二乘法，配点法，矩量法，Galerkin法等等

(2)把加权残数形式积分方程分部积分一次，得到“弱形式”，此时，该积分方程中，对解是一阶导数，对权函数也是一阶导数。这个就是泛函意义上的弱解所应该满足的方程，（说一句题外话，泛函分析上用Lax-Milgram定理证明弱解唯一存在，却无法证明常规 BEM方法的弱解是唯一的，这就是常规BEM法无法与有限元法结合的原因，因为有限元是必然弱解唯一的。）

弱形式引出了：FEM,能量有限差分法，数值流形法，无网格法

(3)把“弱形式”再分部积分一次，得到“逆形式”, 此时，该积分方程中，对解是0阶导数，对权函数是二阶导数。

逆形式引出了：BEM,TrefftzBEM等等方法

2。以上的能量形式是最本质的区别，而后linlin820所问到的各种方法的区别，其实就是试函数中形函数的区别

（1）试函数的定义域

试函数：是用某一中形式的函数来替代该微分方程的解。常规有限元就用：u=N_i u_i,这里的u就是试函数。根据不同的方法，试函数的定义域不同。

比如：

Litz法的试函数定义在整个求解区域--〉有限元法的试函数定义在独立单元

康特罗维奇法的试函数定义在整个求解区域--〉有限条法在一个方向定义在整个区域，另一方向定义在独立单元。

（2）试函数中的形函数

试函数中，形函数取得不同，引发不同方法：取成多项式，则称为多项式有限元；取为有理函数，则成为有理有限元；取为完备解，则成为Trefftz有限元，以此类推，Linlin820的问题我想我已经解答清楚了。

而所谓的无网格法，究其根本，变化也不过在形函数上。

（3）试函数中的基变量
值得注意的是，不仅形函数可以有如此的变化，u_i也可以变化，当把u_i取为一个函数，而不仅仅用一个常数来代替的时候，就成为了数值流形方法。

3。除了试函数的不同，在能量积分中还有一项权函数，这也是区别各种计算方法的根本因素。

(1)当权函数取为试函数，则成为 Galerkin方法，从而刚度矩阵的对称性成为可能。而我们遇到的众多有限元方法，大部分都是基于此，所以刚度矩阵对称。

(2)当权函数取为Green函数，则成为常规边界元法

(3)当权函数取为完备解，则称为Trefftz方法

(4)其余，就有可能是Petrov-Galerkin方法（即广义Galerkin方法）

jiqimao

不错
有个错别字，是泛函

jeffjuju

皑皑，没人讨论一下么？我写的只是自己的理解，希望和别人讨论才能得到更多的东西。

glise

有限元法的基本步骤：
　　第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
　　第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
　　第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。
　　第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。
　　为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
　　第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。
　　第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
　　简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

以上摘自：计算机世界日报

上述步骤是有限元法的基本步骤，从上面可以看出，不管采用什么方法1、2及5、6基本上都是一致的，所不同的只能出现在3、4步上，换句话来说也就是泛函得导出和试函数的构造上

AaronSpark

有限元法被公认为结构分析最强有力的工具，理论上可适用于所有的结构。与差分法相比，对于规则区域的结构，其求解效率比较低；在计算机技术飞速发展前，在求解大型空间结构工程设计问题，有限元法受到种种限制；有些结构问题也很难用有限元法求解，从而又产生了有限条法、边界元法、样条元法以及加权余量法等等算法。

有限条法适用于几何形状规则和边界条件简单的土建结构。与有限元法相比，主要不同点在于所取得位移函数，一般是以多项式和正交级数乘积的形式给出，使得弹性力学问题降维，从而使总刚度矩阵大大降阶。但这种方法用于求解非简支端边界条件时，级数耦合，计算繁杂，尤其是对于集中荷载作用和内部支承情况，所取项数多，收敛慢。同样在处理沿跨向材料突变或是变截面问题时，这种方法也很不理想。

样条有限元法是用三次B样条变分方法解规则区域上板梁组合弹性结构的平衡问题，导出适用于各种边界条件的统一计算格式，比通常的有限元法计算量少，精度高。其后又出现了以样条函数、梁振动函数及能量变分为基础的样条有限点法和样条子域法。最后又采用元条相结合的方法提出了适用于结构分析的样条有限条法。

Laurance

纠正juju第三大点的说法，在彼文第三点中做出比较的Galerkin法，常规边界元法，Trefftz方法应该都是直接法，也即以节点的物理量作为未知数的方法，这些直接法直接本质的区别可以说的权函数的选取。而在间接的边界元法和Trefftz间接法中，其权函数恰恰是可以任意选择的，而试函数是受到限制的，因此这两种间接法同样可以有Galerkin法，配点法，最小二乘法，分段边界法，最小二乘配点法。然后对于第三点中的第四小点持保留意见，我对原始的Petrov-Galerkin法不甚了解，但觉得应该不是权函数的取法不同，而是积分区域或者说试函数的定义域不同，因此可以被用到无网格法中构造出MLPG型的无网格。

jeffjuju

hihi,金老师的大弟子。
关于你说的直接法和间接法，我没想仔细的把它们区分，只是举例说明三种比较重要的因素。至于你说的Petrov-Galerkin,我也不知道，是你老板上课的时候跟我们说的，他一句话带过去，我没听懂

christy

金老师是谁？

jeffjuju

就是发明Trefftz直接法的人呀

snower222

请问，文中提到了“取为完备解”，这个”完备解“是什么形式的形函数？

starwd7219_cn

正在想学习~~~~~~~~可是无从入手~~

buaasunny

楼主可不可以将以上的东西整理啊？

[ 本帖最后由 xinyuxf 于 2006-12-20 10:07 编辑 ]

longsen

谢谢，学习了