[转帖]自动控制之"最优控制－“没有更好只有最好”

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“没有更好只有最好”

　　在第二次世界大战期间及其后的一段时间内，以提高发射命中率为主要目标的伺服系统理论得到了迅猛的发展。这一理论在设计与分析单输入单输出的，线性时不变的集中参数系统时是行之有效的。然而，随着空间技术的发展，控制系统日趋复杂，其精度要求越来越高，这种理论就日益暴露出它的局限性来。因此，人们又开始寻找新的理论了。

　　早在五十年代初期，就发表了从工程观点研究最短时间控制问题的文章，尽管其最优性的证明多半是借助于几何图形，带有启发的性质，但是毕竟为发展现代控制理论提供了第一批实际模型。由于最优控制问题引人注目的严格表述形式，更因为空间技术的迫切需要，引起了一大批数学家的注意。人们发现，最优控制问题就其本质来说，乃是一个变分学问题。然而，经典的变分理论所能解决的，只是其容许控制属于开集的一类最优控制问题，而实际上遇到更多的，却是其容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们开辟求解最优控制问题的新途径。在解决最优控制问题的种种方法中，有两种方法最富有成效，一种是美国学者贝尔曼（Bellman，R.）的“动态规划”；另一种是苏联学者庞特里雅金的“最大值原理”。“动态规划”是贝尔曼在1953至1957年间逐步创立的，他依据最优性原理，发展了变分学中的哈密顿——雅可比理论，构成了“动态规划”。“最大值原理”是庞特里雅金等人在1956至1958年间逐步创立的，他受到力学中哈密顿原理的启发，先是推测出“最大值原理”，随后又提供了一种证明方法，并于1958年在爱丁堡召开的国际数学会议上首次宣读。

　　最优控制问题研究的主要内容是：怎样选择控制规律才能使控制系统的性能和品质在某种意义下为最优，求解最优控制问题的方法，目前主要的就是上述的两种方法，另外可能还会用到一些数值解法。用这些方法已经成功的解决了许多动态控制问题，如最小时间控制，最少燃料控制和最佳调节器等。最优控制已经在航天，航海，导弹，电力系统，控制装置，生产设备和生产过程中得到了比较成功的应用，而且在经济系统和社会系统中也得到了广泛的应用。

　　最优控制问题有四个关键点：（1）受控对象为动态系统。（2）初始与终端条件（时间和状态）。（3）性能指标。（4）容许控制。而最优控制问题的实质就是要找出容许的控制作用或控制规律，使动态系统（受控对象）从初始状态转移到某种要求的终端状态，并且保证某种要求的性能指标达到最小值或者是最大值。

　　最优控制存在一个问题，就是一个最优控制问题是否存在唯一的最优解？常见的实际物理系统，性能指标的提法合理则一般存在最优解，而且在一定的范围内有唯一解。但是，对于一个比较复杂的问题，最优控制问题解的存在性和唯一性的判定是比较复杂的，有时甚至是不可能的。现在的研究一般都假定是有唯一解的最优控制问题，即可以求出一个最优的解来。

　　我们还应该了解，我们希望找到的是“整体”的最优控制，也就是在允许的范围内，寻找的控制作用使动态系统的性能指标达到最小或者最大。但是，在实际情况中除二次型性能指标的最优控制问题外，一般是很难用定量方法求得整体最优控制的，因此常常是求出许多局部最优控制，再挑选整体最优控制。

　　时至今日，最优控制理论的研究，无论在深度或是广度上，都有了较大的进展。然而，随着人们对客观世界认识的不断深化，又提出了一系列有待解决的新问题。可以毫不夸张地说，最优控制理论依旧是极其活跃的科学领域之一。

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一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。

动态规划、最大值原理和变分法是最优控制理论的基本内容和常用方法。庞特里亚金极大值原理和贝尔曼动态规划是在约束条件下获得最优解的两个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。

在实际应用中，最优控制很适用于航天航和军事等领域，例如空间飞行器的登月、火箭的飞行控制和防御导弹的导弹封锁。

工业系统中也有一些最优控制的应用，例如生物工程系统中细菌数量的控制等。然而，绝大多数过程控制问题都和流量、压力、温度和液位的控制有关，用传统的最优控制技术来控制它们并不合适