请教一个关于矩阵函数求导的问题

cchh01

y(t)=f(X+tP)
其中X和P是待定常值n维列向量。t是数量自变量，y是数量值函数
求y对t的导数：
1、令U=X+tP 。那么U也是列向量。
2、y对t求导数，由复合函数求导法则可知：f对U求导数、然后乘上U对t求导数。
   但是由于f是数量值函数，对向量自变量U求导，得到一个向量W。
   然后应该城市U对t求导得到的一向量L。
疑问是：为什么W和L是内积？

cchh01

中间的复合函数是一个向量。自变量和最终函数是数量。求复合函数的导函数。

octopussheng

根据上面你的说法，其中X和P是待定常值n维列向量。
那么显然y和f肯定是n维列向量

根据求导法则，y=f(U),

dy/dt=df/du*du/dt   一定要为n维列向量

那么df/du*du/dt从向量维数上来看应该是一个n*1=n*n * n*1
也就是说df/du为n*n矩阵，du/dt为n*1向量

也就说说df/du=[df1/du1 df1/du2 ...... df1/dun
                       df2/du1 df2/du2 ...... df2/dun
                       ......
                       dfn/du1 dfn/du2 ...... dfn/dun]
书写不方便，就把偏微分符号写成d啦！

你看看这个就明白了！

cchh01

嗯。你说得后面部分是对的。
但是y和f是数，不是列向量。y或f是t的函数，是数。t也是数。
中间变量X+tP中的X和P是n维向量。

octopussheng

你说的“y和f是数，不是列向量“，这句话不对吧!!!

你的”X+tP中的X和P是n维向量“，y怎么可能是数，而不是向量呢？

我建议你检查一下你看的文献或者文章！呵呵

cchh01

原帖由 octopussheng 于 2007-7-29 15:21 发表

                               
登录/注册后可看大图

你说的“y和f是数，不是列向量“，这句话不对吧!!!

你的”X+tP中的X和P是n维向量“，y怎么可能是数，而不是向量呢？

我建议你检查一下你看的文献或者文章！呵呵

y确实是数不是向量。这个很好理解，类似多元函数嘛，多射一怎么不可以呢。

修正一下，刚才图片有笔误。

octopussheng

呵呵，不好意思，上面理解有点偏差！

但是这个问题还是要从向量、或者说是矩阵的乘法运算来解释啊

你这里y是一个标量函数，肯定是1*1的，对不？dy/dt肯定也是1*1的！

那么你等式右边的项也应该是1*1的才对，所以应该是点积才对啊！应该是1*n和n*1的向量相乘啊！

cchh01

octopussheng
谢谢

这么解释是解释得通。
但是推导过程当中按照定义来的时候，不知道怎么就给上面那个第一层变量求导的时候最后向量加上了一个转置。

如果强行的去满足前后要相等来凑这个结果我觉得很难有说服力啊。比如如果中间变量换了一种形式。或者最后的函数是其他形式的量的时候。总不能一个一个去凑结果吧。

octopussheng

这个也不算是凑啊！只是你硬要去解释一下，我觉得这个说法比较容易理解、容易说服人，呵呵！

关于求导、微分这些，其实最终还是要满足等式关系的，这种解释是一种比较通用的说法，呵呵个人的观点！

如果有更好的解释的话，也请拿出来分享分享哦！