[讨论]有没有讨论“量纲分析”的朋友？

yycgy

“量纲分析”是力学中的敲门砖，很基础但也很重要，希望和大家讨论。

kkkttt

量纲分析确实非常重要和有用，不过不好意思一致没搞清楚Pi定理是怎么回事

yycgy

PI定理 就是 从量纲分析的角度，得到自变量和因变量的明确控制参量和个数。

AaronSpark

量纲分析的理论基础实际上是Buckingham的PI 定理(没记错的话是1914年发表的)，有兴趣看中文证明的还可以看北大赵凯华的那本定性与半定量物理学.

yejet

个人理解量纲分析就是用单位去分析物理学问题

物理公式等号的两边 单位必然相同

因此可以用量纲分析来检查模型是否正确

若是单位不同表示必然有错

相同则不见得保证对 也就是单位一致是必要条件而非充分条件

yycgy

出个小习题给大家吧，看看怎么用“量纲分析”推导 单摆的公式。

simon21

上面的ppt中就有详细单摆量纲分析过程，从中可以看出研究系统某一过程中各物理量的量纲及其相互间的关系，可以推导出某些物理量的限制条件，这是量纲分析的主要作用。

[ 本帖最后由 zhpurple 于 2006-12-1 13:03 编辑 ]

yycgy

感谢newidea精彩奉献，其实量纲分析可以用在很多地方，比如薄翼绕流、弹塑性问题、流固耦合、热固耦合等很多领域。也希望大家结合自己的研究方向，提供一些实例，用“量纲分析”方法对模型进行分析。

yejet

《量纲分析的基础及其应用研究》

yejet

单摆的周期 T
若假设和 摆锤重量M 长度L 与重力场G=L/T²(长度/时间²) 相关

则两边单位需要一样
假设 周期 = (摆锤重量)^a (长度)^b(重力场)^c
则 T=M^a L^b(L/T²)^c
=M^aL^b+cT^-2c
因为周期单位和质量M与长度L无关 ,因此 a=0 且 b+c=0
又 -2c=1 所以 c=-0.5 于是 b=0.5
因此 T =L^0.5G^-0.5=(L/G)^0.5
当然也可能相差一个比例常数

yejet

关于对应分析中量纲问题的处理

童亚丽1，张扬文
（1.厦门大学经济学院统计系，福建 厦门 361005）
[摘 要]文章阐述了在进行对应分析时，各变量数据具有相同量纲的必要性。讨论了在实际应用中，需对原始数据进行标准化处理时，各种标准化方法的适用范围。还涉及了数据的无量纲化处理和变量的数量级问题。
[关键词]对应分析；量纲；数据标准化
[中图分类号] [文献标识码] A [文章编号] 1008-1151（2005）04-
[收稿日期] 2005-
[作者简介]童亚丽（1980-），女，福建厦门人，厦门大学经济学院统计专业03级硕士研
究生，研究方向：统计学。
运用对应分析法对实际问题进行处理时，原始数据应满足条件：各变量 具有相同的量纲（包括均无量纲），关于这点许多教科书均未作很明确的表述（如文献1、2、3）。此外，进行数据标准化处理时，不同的文献采取了不同的方法，对各种方法的适用范围也未给出明确的规定。针对这些现象，笔者认为有必要做出更详尽的说明。
1问题的提出
对应分析是将Ｒ型和Ｑ型的主成分分析有机结合在一起的。在Ｒ型的主成分分析中，所求变量 的均值 是平常意义下的算术平均值，而在对应分析中第ｉ个变量的均值是按下式计算的（设有n个样品，每个样品有m项指标，原始数据为 ， ）：
　 　 　　　　　　（１）
这里的平均是“概率意义”下的平均，这也是对应分析的可贵之处。其中，
　 　　 　　　　
但是，如果 的量纲不全相同，Ｔ就无法计算，式（１）中的符号均无意义，那时根本无概率的平均可谈。
可见， 具有相同量纲是进行对应分析必不可少的前提，这点不容忽略。
2原始数据的标准化方法
在实际应用中，各变量的量纲不同是大量存在的。因此，使用对应分析法前应对原始数据作标准化处理，设原始数据矩阵为 ，经标准化后的资料矩阵为 ，此时 须满足
这样才能保证 有意义，其中
文献4列举了7种数据标准化的方法，现列出其相关结果
标准化方法 量纲 的变化范围
中心化 原量纲 0 0
离差标准化 无 0 0
标准差标准化 无 0 0
极差标准化 无 [0，1]
模标准化 无 [0，1]
最大值标准化 无 [0，1]
总和标准化 无 [0，1]

由以上结果可知，中心化、离差标准化、标准差标准化总是不可行的；极差标准化[①]、模标准化、最大值标准化和总和标准化是可使用的。
值得指出的是，当样本容量很大时，应用模标准化，总和标准化，其结果有时使得 变得很小，因此，计算时应适当增加有效位数。而究竟该采用哪种方法为佳没有特定的准则，宜从研究目的出发，结合数据本身特点和具体专业考虑。
3原始数据的无量纲化
对原始数据矩阵作变换后的数据有量纲，因此R型分析的特征向量有量纲，Q型分析的特征向量无量纲，两种分析方法并不对称。同一物理量用不同的量纲，其数量值有变化，对应分析的结果也有变化，其结论不一甚至对立，因此使用有量纲的数据作对应分析是不恰当的，可设法将其无量纲化。
仍设有n个样品，m个变量。原始数据 。 表示 的单位，则T和 的单位为 ， 的单位为 。
对资料阵x作 变换， 的量纲为 ， 的量纲为 ，当 时，量纲为 。 无量纲，因 ， 阵有量纲, ，则其特征向量 阵也应有与 阵一致的量纲， 为 阵特征向量，无量纲。从量纲考虑， 和 并不对称，物理量是数值单位，同一物理量由于采用的单位不同，必然带来数值变化，比如重量可以用吨、千克、克等各种单位表示，其数值当然不同，由于 阵有量纲，基准单位制变化，矩阵的值也跟着变化，因此 阵、 阵特征值和特征向量也要变，结论的解释也将改变。
由此入手，如能将原始资料阵中的单位约去，使之成为无量纲的资料阵不失为一个好办法。此时，资料阵中的数值没有单位，是一个相对比值，不再随单位制的使用而变化。两种单位制的换算系数 是决定资料阵中数值大小的重要参数，设原始资料 列的标准差为 ，当单位制改变后标准差为 ，因此 与 的比值是一样的，所以我们认为用标准差除原始资料，即先对原始数据进行无量纲化处理后，再进行对应分析比较合适。
4关于各变量的量级问题
值得特别注意的是，即使各变量具有相同的量纲或均无量纲，而各变量的量级相差悬殊，例如林业科学中的海拔高度（m）与树木胸径（cm），农业科学中的单产（kg）和百粒重（g），如果换算成同一量纲，其量级相差都在千倍甚至万倍以上，这在聚类分析中是最忌讳的，因为容易产生以大压小的现象。一般地，样本容量越大，量级之间的差别应越小，如何界定还应视具体情况而定。
5结 论
在进行对应分析时，首先要消除量纲影响才是合理的。本文仅就数据标准化和无量纲化处理的一些问题提出几点看法，如何更好地消除对应分析中的量纲，有待进一步讨论。
特殊情况下不可使用：如果第 个样本各变量 的值均小于其他样本各变量对应的值，即 ，根据极差标准化公式，则有 ，故 ，导致 无法求得。

yycgy

推荐一些参考文献


1. 谈庆明，量纲分析，中国科学技术大学出版社，2005

2. 郑哲敏、谈庆明，相似理论与模化，机械工程手册，基础卷，第三篇，机械工业出版社，1996

3. Л. И. Седов, Методы Подовия и Размерности в Механике,〈Наука〉,1965（中译本：谢多夫，力学中的相似理论和量纲分析，科学出版社）

4. Lin C. C., Segel L. A., Mathematics Applied to Deterministic Problems in

Natural Sciences. New York: Macmillan Publ. Co., Inc., 1974（中译本：林家翘，西格尔，自然科学中确定性问题的应用数学，赵国英等译，科学出版社，1986）

yycgy

量纲分析还可以用在一些实际工程领域，比如典型的流体力学问题、典型的固体力学问题、流固耦合问题、流体弹塑性模型、地下爆炸、穿甲等领域。

希望各位同仁能把这个问题继续讨论下去！

yycgy

大家可能对固体中的弹塑性本构和流体N-S方程比较了解，但对对兼有流体性质和固体性质的连续介质模型并不十分了解。

要把二者兼顾，必须找一个把他们联系起来，这里我们选择速度作为这一物理量。在固体模型中，应力、应变都是由 体变部分和畸变部分 组成。对于应变，他由 弹性部分和塑性部分 构成，两个部分都是有 体变部分和畸变部分 组成（塑性应变部分只有畸变部分而没有体变部分）。

很自然，本构包含 体变部分和畸变部分，体变部分服从 状态方程，畸变部分服从 弹塑性的应力－应变关系。

现在，大家可以想一下，如何 从状态方程中 找到我们需要的控制参数？

aspen

呵呵，有人提出了量纲的解系定理，现在还不知道是否正确，不知道是否有人有兴趣证明一下