请教关于对Hopf分岔的理解！

lhansheng

最近在做有关时滞微分方程的Hopf分岔的一些工作。
对Hopf分岔的认识还是不足，有几个问题还没搞明白，在这向大家请教一下。


1、发生Hopf分岔一定会发生稳定性变化？按Hopf分岔定理，只要实部对参数的导数不为零就满足Hopf分岔，那如果平衡点在参数没有经过分岔点时是稳定的，但实部对参数的导数在分岔点处是小于零的，意思就是说一对特征值到达分岔点后还是往下走，而不会穿过虚轴。这样也满足Hopf分岔定理，但并没有发生稳定性变化。

2、对于实部对导数在分岔点处的值不等于零。我觉得说得太含糊，有些文章只讨论大于零的情况，没讨论小于零的情况，按数学的理解，大于零也就是说关于参数是单调增加的，如果本来系统是稳定的，那么这时候随参数变化经过分岔点，那么稳定性是一定会发生变化的。但如果本来系统是不稳定的，那这时候就不会穿过虚轴也就不会发生稳定性变化。

3、看过一些书有这样描述的：首先系统满足Hopf分岔定理，并且系统是稳定（不稳定）经过分岔点，变成不稳定（稳定），稳定（不稳定）周期解发生在不稳定的一侧。这样说对不？这时候周期解的稳定性一定能确定吗？

谢谢！

yzsldj

你说的第一点中“只要实部对参数的导数不为零就满足Hopf分岔”是不对的，这只是Hopf分岔定理的条件之一，发生Hopf分岔最重要的条件是要求存在一对纯虚特征值，“实部对参数的导数不为零”成为横截条件，一般的非线性系统大都能满足。

对于非线性系统Hopf分岔的研究，一般需要解决如下三个方面的问题：
（a） Hopf 分岔的存在性，即系统是否存在周期解，这是Hopf分岔研究中需要解决的基本问题。目前，已有多种方法可作为Hopf 分岔存在性的判据；
（b） Hopf 分岔的方向，即在参数的什么范围内出现分岔；
（c） Hopf 分岔的稳定性，即如果存在周期解，其稳定性如何（超临界或亚临界）。Hopf 分岔的方向及其稳定性的研究中，需要通过复杂的计算得到系统的横截系数 和曲率系数 （或称为Floquet指数）。曲率系数 的符号决定了Hopf分岔的稳定属性，若曲率系数<0，所出现的Hopf分岔是超临界的（supercritical）；反之，若曲率系数> 0，所出现的Hopf分岔是亚临界的（subcritical）；若曲率系数=0，则需要计算更高阶的曲率系数。

lhansheng

谢谢楼上的回答！

你说的没错，那只是其中的一个条件。现在我假设Hopf定理的其他条件都成立，那么实部对参数在分叉点处的导数不等与零这个条件应该是用来判断稳定性变化的。现在我主要是想证实Hopf分叉发生时，稳定性是否一定会变化？
最近讨论一个模型的Hopf分叉，计算结果表明实部对参数在分叉点处的导数有大于零和小与零的。所以不知道是否也是满足Hopf分叉。

对于分叉方向的研究，我一个同学说，如果有发生稳定性变化，那么不用计算就能确定分叉出的周期解的稳定性及在分叉点的哪一边出现？你说这么理解对吗？

楼上大哥，我的QQ：56837935，方便加我。谢谢！

yzsldj

你在概念上可能有点问题：

什么是Hopf分岔？Hopf分岔是一种动态分岔，而动态分岔本身就伴随着系统稳定性的变化（而且是突变），所以，系统经历了Hopf分岔的话，它的稳定性一定变化了。

21172485

1.楼主概念有点混淆了,特征值实部的导数不等于零,是横截条件,这个上面那位说的一样.是HOPF发生的一个条件
2.不能通过简单的确定特征值实部的单调的增加和减少来判断HOPF的稳定稳定性和分岔方向,稳定性是通过HOPF分岔的交换公式来确定的,也即b=-a'*u  a'(0)只能判断零解的稳定性, u 的符号确定了分岔的方向,b才是非零解的稳定性 周期解的稳定性判  断2楼已经回答的很清楚了

lhansheng

谢谢大家的支持！

我所说的稳定性都是针对系统的稳定性（也就是平衡点的稳定性），我主要是想讨论当系统经过分叉值后平衡点的稳定性变化。按照4楼所说的系统的平衡点稳定性一定会发生变化。假设Hopf定理条件都成立，当参数在分叉值之前时，系统是稳定的，此时实部在分叉值处对参数的导数小于0，那么这对特征值应该不可能横穿虚轴。那么以后它随参数的变化,只能在每隔2pi的位置处有一对纯虚根，其它的地方都是实部小于零，也就是稳定的，这样能说稳定性发生变化？

yzsldj

“...系统是稳定的，此时实部在分叉值处对参数的导数小于0，那么这对特征值应该不可能横穿虚轴。...”这种理解显然不正确：

发生Hopf分岔是指有一对特征值的实部为0，“实部的导数小于0”并不意味着“特征值的实部小于0”，

lhansheng

当实部小于零代表那一对特征值的实部将往下走（这里我以那对特征值的实部为纵坐标，以参数为横坐标）！我这样说对吧！我现在是讨论发生Hopf分叉那个地方，系统的稳定性变化的情况（我觉得跟初始的稳定性有关）。不是讨论什么时候发生分叉。

octopussheng

稳定性就要看特征值实部了！
和初始稳定性有关，这点我个人目前还没有看到！

yzsldj

“初始稳定性”是指什么？
看得出来，楼主目前对分岔的一些基本概念处于“混沌期”，想当初自己在学习这部分内容时也曾经历过类似的煎熬，楼主应找一本教材，把基本概念梳理一下，跨过这一道坎就会有豁然开朗之感。

lhansheng

这一方面的东西看了很久了，但没有一种比较全面的说法。
初始稳定性是指在通过分叉点之前系统的稳定性。如果通过了分叉点，那么系统的稳定性是否一定会发生变化？这一点我一直没有搞清楚。
下面我是以图的形式说明我是怎么来考虑这个问题，请大家多提意见。

lhansheng

请大家提意见！
我那样说有没有问题？

无水1324

继续关注这个主题，看着这些好像明白了，但是又糊涂了，
高手继续！:lol

lhansheng

请高手帮忙！！
谢谢！

lhansheng

11楼的那个例子不知道你怎么看？还请高手指点啊。