非自治系统-自治系统的Poincare截面构造方法

gaoxj3000

我在论坛上搜索了有关Poincare截面的主题，但对一些问题还是搞的不太明白!主要有：
(1)非周期激励的，非线性非自治系统的Poincare截面一般来说如何构造。
(2)自治系统的Poincare截面的一般构造方法。
(3)Poincare映射算子又是什么，如果给定了一微分方程组，如何求其Poincare映射算子。
请各位高手指点，也请大家踊跃讨论，请大家在说明具体方法的时候最好同时列举一些例子，程序，算法等，总之，越明白越好!

gaoxj3000

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咕噜噜

(1)(2)皆可先通过后再进行fft分析，得到稳态运行周期后再画poincare截面
映射算子么，数学上的吧，是不是开折的时候用啊

gaoxj3000

原帖由 咕噜噜 于 2008-3-7 15:15 发表

                               
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(1)(2)皆可先通过后再进行fft分析，得到稳态运行周期后再画poincare截面
映射算子么，数学上的吧，是不是开折的时候用啊

          你说的先进行FFT分析，得到系统运行周期是可以的，但只能说是系统在给定参数下的周期，如果系统的周期是随系统参数不断变化，通过求得周期可以画Poincare截面图，如果系统处在准周期，概周期或者混沌的时候，就不存在“周期”的说法了，而且如果这样：FFT分析得周期-画Poincare截面再去做分岔图的话就显得比较烦琐。最重要的是，您并没有确切说明对两种系统怎么取Poincare截面，做分岔图，这是我所重点关注的。

Poincare映射算子是这样说的：
x'=f(x,t,w) 这样一个非线性非自治系统，利用Poincare映射可以将连续求解该动力系统的周期解及判稳问题转换为求解Poincare映射的不动点及判稳问题，即求解如下形式的非线性方程组： G(x,w)=x-P(x,w)=0, 的零解问题，P为Poincare映射算子，我就是不太明白如果给定了微分方程，那么 P(x,w) 的具体形式是什么样的，或者怎么来求?

       不管怎样，还是多谢“咕噜噜”在百忙之中抽时间进行回复和讨论，谢谢！:@D

gaoxj3000

发了这么久，怎么没几个人回复啊，请大家稍稍用一点时间，把各位的心得体会或者经验说来共享一下，谢谢喽！:@D

laneliu

想弄明白Poincare截面，首先要理解Poincare截面的定义，可参阅胡海岩、刘秉正的书，Poincare截面之所以称之为截面，就是应为他是与运动轨迹垂直的一个面，所以用这个截面截取运动轨迹，就可以起到降维的作用。
对于非自治系统，一般选取“与时间垂直的”截面，又称之为“频闪采样法”，比较容易理解。
对于自治系统，Poincare截面的选取比较麻烦，关键在于判断“垂直”，一般的话要具体方程具体分析，刘秉正的书上有若斯勒方程，可参阅。
对于楼主所说的非自治、非周期激励的方程，没见过，不好说。

[ 本帖最后由 laneliu 于 2008-4-18 04:21 编辑 ]

laneliu

Poincare映射算子是这样说的：
x'=f(x,t,w) 这样一个非线性非自治系统，利用Poincare映射可以将连续求解该动力系统的周期解及判稳问题转换为求解Poincare映射的不动点及判稳问题，即求解如下形式的非线性方程组： G(x,w)=x-P(x,w)=0, 的零解问题，P为Poincare映射算子，我就是不太明白如果给定了微分方程，那么 P(x,w) 的具体形式是什么样的，或者怎么来求?


其实比较简单，在具体操作的时候，计算Poincare映射就是将动力学方程积分一个周期，取周期末的点击可。在这个过程中还可以计算Poincare映射的微分，进一步判稳。
求解非线性方程组：G(x,w)=x-P(x,w)=0, 的零解问题可以利用Newton—Rapson算法，速度较快，但是初始点的选取比较严格。

[ 本帖最后由 laneliu 于 2008-4-18 04:31 编辑 ]