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[数学理论] 关于奇点

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发表于 2008-6-13 15:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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是不是有奇点,才有周期解。奇点的稳定性就是解的稳定性。
我理解,n*n矩阵最多只能有n个奇点。非线性方程的奇点要比线性的多吧。
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发表于 2008-6-13 17:14 | 显示全部楼层
有奇点才有周期解?不对的
奇点的稳定性也完全就是解的稳定性,因为解的稳定性是全局的
非线性方程的奇点不一定要比线性的多
发表于 2008-6-16 15:27 | 显示全部楼层
个人理解:
    奇点也是一种解的形式,其与周期解似乎有些联系(本人没有根据地想了一下一条周期轨道收缩到一点的情形)。纯数学的微分方程理论没有研究过,但是在看一些天体力学方面的资料时,提到过三体问题中的动平衡点(三体系统的奇点),在动平衡点附近有时会存在所谓的Halo轨道,是一种周期解。水平太低,所以没有办法继续理解和研究下去。
    对于奇点稳定与解的稳定的关系,我非常希望有高手能给详细说明一下。我怀疑有相当多的人对此并不是很清楚。我个人理解,奇点的稳定性反映了系统轨迹在奇点附近所表现出来的各种性态。习惯上,系统的稳定性问题一般就是指奇点的稳定性,但是个人觉得只是因为对于非线性系统,其解析解一般无法获得,所以无法单独讨论系统解的稳定性。例如微分方程解对初值连续依赖性,这种连续依赖的程度就体现了解的某种稳定性,只是没有办法对其更加深入的研究。不知道我理解的对不对。
    而对于线性系统,其奇点显然可以有无穷多个。因为系统矩阵如果是奇异的,其零点的集合是有维数的线性空间。只不过线性系统所有奇点的稳定性是一致的,一个稳定全部都稳定,而且具有全局性质。而非线性系统就太复杂了,每个奇点对应的稳定性可能不一样,而且这种稳定性都是局部的。
    希望各位继续讨论!

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