关于特征值和频率的问题

gaolm_ty

有个比较弱的问题请教大家。
我们知道特征值是某个矩阵的广义特征值问题。我们先看一个最简单的特征值问题，一个8阶单位矩阵，它有8个相同的特征值（频率），都是1，对应8个不同的特征向量。特征向量可以对应为模态或阵型。问题就是，这个频率对应了8个阵型，如果这个结构按照这个频率振动，它的阵型应该是这8个阵型中的哪个来振动？当然，振动问题的特征值是广义特征值，不会像单位矩阵这么简单。我同学就碰到了类似的问题，便捷条件构造了一个8阶矩阵，求出前8阶频率（特征值）后，将任意一个频率代入矩阵中想得到它的阵型，但是矩阵的秩不是7，而是小于7的数，这就意味着同一个频率对应多于1个阵型，那么应该选取哪个阵型？
谢谢大家！

wanyeqing2003

1、每一个振型对应一个频率，根据振型分解法的原理，这是系统的一个固有特性；
2、一个特征值对应一个固有频率；
3、将特征值代入特征方程可以计算出特征向量；
4、由特征向量可以构成一个变换矩阵；
5、利用变换矩阵可以将多自由度系统转换为单自由度运动微分方程，以便于直接求解；
6、最后将单自由度解值，用变换矩阵转换为真实的振动解。

具体方法可以在振动理论书籍中的振型分解法部分看到。

[ 本帖最后由 咕噜噜 于 2008-10-1 09:53 编辑 ]

gaolm_ty

您在第3点中提到“将特征值代入特征方程可以计算出特征向量”，但是一个频率有没有可能对应不止1个阵型的情况？

咕噜噜

对于某些特殊结构的机构或者说模型来说是可能出现重复特征值的情况的，但是要知道，即便是相重复的特征根，它们彼此所对应的振型也是不同的，但是仔细分析一下还是有规律的，我就遇到过这种情况，他们并不是混乱的
系统的一个特征值对应其振型，不是说你随便选哪一个的问题
其实说振型单独列出来或者说选哪一个更好根本就没有意义，只有在一些实际情形中才有必须做出判断。比如在一些激励作用下可能会出现共振的情形时

ChaChing

个人观点
重复根对应相同频率, 但不同振型, 且这些振型并非唯一决定
激振力的位置及方向, 决定反应模态为那些振型的组合
例如一般刚体模态有6个, 频率都是零, 但振型分别为垂直/侧向移动, 前後移动, 俯仰/滚转/偏转

[ 本帖最后由 ChaChing 于 2008-10-1 10:20 编辑 ]

欧阳中华

.
     振动系统固有特性可以反应为矩阵的特征值问题，系统可能是有相同固有频率的模态存在，由于模态频率和模态振型是一一对应的，且此时模态频率（固有频率或矩阵特征值）有相等的，所以仅仅考模态频率是区分不了是那个模态，只能结合模态振型才方便区别。一般情况下，模态频率都是不相等的，所以都用模态频率的大小来排序。

   至于系统以重根模态频率振动时，系统的响应如何，这个问题属于另外一个问题了，而且也比较复杂. . .

zhuofeng

实际结构在振动的时候，不可能只以一种振型进行振动，而是多种振型的叠加振动。
当然也有特殊情况，就是在外激振频率固定的情况下，时间足够长，其他频率的振动很快衰减，就剩下与激振频率相同的振动，但是这个时候一般外部的扰动也还是存在的

wanyeqing2003

原帖由 gaolm_ty 于 2008-9-30 22:20 发表

                               
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您在第3点中提到“将特征值代入特征方程可以计算出特征向量”，但是一个频率有没有可能对应不止1个阵型的情况？

有这种现象，一个频率对应两个或者多个振型，这是因为特征值有重根。
就像方程：(x-2)^2=0，中，x=2就是重根。

[ 本帖最后由 wanyeqing2003 于 2008-10-2 09:31 编辑 ]

lanse0725

接楼上：一个特征值对应多个特征向量时，出现比较特征向量所构成的空间维数和特征向量的个数，继而踏入判定稳定性的区域。
楼主所问的究竟应该按照哪个振型振动，我认为应该是根据边界条件来确定的。一般来说，我们会给振型函数，而这个振型函数其实是各个振型的叠加，里面是有待定系数的

gaolm_ty

首先非常感谢大家的解答！
接5楼，
您在回复中提到，不同的振动形式可能有相同的频率，比如横向和纵向振动可以频率相同。我的问题是，有没有可能针对同一种的振动形式，频率出现重根的情况。也就是说，同一振动形式的频率对应不同的阵型？

再次感谢大家！

欧阳中华

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    不可能出现相同振型的几个模态..

gaolm_ty

谢谢欧阳中华！

您的意思是，结构的横向振动不可能出现频率重复的现象？
能不能从理论上解释一下。

非常感谢！

欧阳中华

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      结构横向振动可能出现重复固有频率，但对应的振型不会一样，因为概念上固有频率和振型是一一对应的.. . .

     理论上证明还不知道如何证明，如果这是线性系统振动模态的固有特性的话，固有特性属于一种存在，往往是不能证明的.. .

gaolm_ty

如果说结构横向振动频率可以出现重根的情况，那么结构在频率与该频率相同的激励作用下，结构应该按照哪个阵型来振动？阵型叠加法还会不会有效？

欧阳中华

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     一般来说激励频率与固有频率一致时就会发生共振，严格来说这仅仅是共振的必要条件，若要发生共振必要条件是激励对被激起模态振型做功，有能量输入，这样就存在激励作用位置的影响了。

  倘若系统有重根，而固有频率又正好与重根相等，那么就是重根对应模态的线性组合.. .

   参考《振动力学》（西安交大 倪振华编）关于方板振动..