[能否讨论一下]矩阵谱半径的数学意义

allenfieldin

能否讨论一下矩阵谱半径在数学上的意义，它表达的是矩阵的哪些特性啊？
我搜了不少资料，说得都不太好。
这个问题我想弄得清楚一点，发在这个版块，还望各位多多赐教

ChaChing

个人感觉楼主的问题属专业问题, 并非matlab编程问题!?
又个人专业水平有限, 不知该移至那版块!?
同待高人路过了

VibrationMaster

是不是就是最大特征值？

allenfieldin

是啊，我也觉得放在这里不太合适，但找不到合适的版块啊。还请主任手下留情，期待有高人路过指点了，谢过

是最大特征值，但数学上为何引进这个值？
谱半径在方程组计算收敛上有着判定收敛意义，单我不知道其中的缘由啊

[ 本帖最后由 ChaChing 于 2009-10-10 10:10 编辑 ]

ChaChing

喔, 矩阵谱半径就是最大特征值!? 学习了
或许大牛VibrationMaster会愿意教教
基本又不是灌水帖, 个人不可能删的

VibrationMaster

家谱就象一条一条竖线排起来。白光的光谱经牛顿三棱镜折射后变成一列一列单色光谱。所以排排坐（吃果果）大该都能叫谱吧（比如这个人摆谱也是这个意思）。
数学里面把矩阵的特征值排在一起，大概也能叫谱吧，在泛函里面函数也可以定义谱，也就是特征值，有些映射或函数的“特征值”甚至是连续分布，这时再叫特征值可能有点不准确（个人见解），叫谱呢大概还是可以的。
所以从数学角度称“谱”的比较多。
至于半径大概是因为|最大特征值|是影响稳定性的最重要因素，所以形象地用几何术语“半径”来称呼吧。
以上是个人的感悟，可能不正确。

yufeng

谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数记得有如下关系:
有任意正数a，满足
    　║A║≤ρ(A)+a
因此用于范数证明的地方 都可以用谱半径来表示

allenfieldin

首先应该感谢VibrationMaster分享对谱半径做出的理解。
时隔一个多月以后，有一次上数值分析课时老师做了如下的讲解，希望对大家有所帮助：
1.Y=AX，实际上可以看作是对X的线性变换，而A的特征值u,即：uX=AX，表征了线性变换矩阵A所造成X的“奇变”特征，变换前后X的变化（原X的u倍）或理解为沿特征向量X上的放大;A相当于一个照相机，x相当于一个真实的世界或事物，经过拍摄后就有可能失真，特征值u刻画了失真程度；
2.矩阵A造成的奇变现象刻画了矩阵A本身的条件数(cond(A)),在线性方程组中表现了方程组本身的病态程度；
3.再来看特征值，最大特征值与最小特征值的比值反应了奇变或病态的程度，比值越大，矩阵A的特征越坏，失真范围越大。