已知刚体一点的振动功率谱，如何求刚体另一点的振动功率谱

micjor

现已经求得了刚体某点(假设为A点)的随机振动响应：六个广义坐标(三个平动，三个转动)的功率谱（包括了位移、速度、加速度）
如何求刚体其它点(假设为B点)的随机振动响应功率谱？
已知B点与A点的初始相对位置。

studysea

这跟求不求功率谱没什么关系,问题的本质在于已知刚体的运动,求刚体上任意一点的运动.这就涉及到刚体一般运动方面的知识.

这里涉及到3个公式:位移,速度,加速度,下面以向量表示:
1. r = rA + rAB
2. vB = vA + w *rAB (*叉乘)
3. a = aA + E*rAB + w*(w*rAB) (*叉乘,E为角加速度即w求导).

知道了这3个关系式之后,就可根据A点求出B点的振动响应,然后求出随机振动响应功率谱

micjor

我本来也是这么想的，只要求刚体运动就OK了。
已知A点运动求B点运动很容易，由刚体运动学就OK了，如你所述公式
可已知A点的振动功率谱，求B点的振动功率谱却不那么方便，应该是另外一种情况，必有一番推导。
我觉得要解决这个问题，主要在于如何利用A、B两点的运动约束关系，由A点位移功率谱推出B点位移功率谱。

另外，我只关心B点的垂向振动位移功率谱，目前可以推出B点的垂向振动位移与A点广义振动坐标的关系，如下式
Zb＝f(x,y,z,rx,ry,rz,Tx,Ty,Tz)
式中：x,y,z,rx,ry,rz是A点的振动位移，Tx,Ty,Tz是B点与A点的相对位置，Zb是B点的垂向振动位移。f()是一个非线性表达式，包含了三角函数。

由此问题归结为：已知x,y,z,rx,ry,rz的位移功率谱，已知Tx,Ty,Tz是常量，如何求Zb的位移功率谱。

思来想去，未得其果，还谢帮忙！

micjor

问题已解决
错误出在推导的Zb表达式不对，是直接推的位移关系，好复杂(用到矩阵变换)。
应从速度关系推到位移关系，则过程清晰，结果是个简单的线性表达式

studysea

难不成你说的位移公式是这个公式: rOB = rOA+ theta* rAB

[ 本帖最后由 studysea 于 2010-3-25 13:50 编辑 ]

micjor

帮我看看，应该没问题吧

studysea

首先,要强调的是,你这个式子无论对与错,应该是在刚体作微小转动的情况下推导的.

我觉得按你所说: 其中从左到右数,这个等式的第一个正号(  +  )应该是负号( - ) 。

（个人拙见，仅供参考。不对之处还请指正。谢谢）

micjor

多谢提醒，不过正负号稍不同。另外，认同小范围才成立。请看以下详细推导，帮我看下是否这次没错了，多谢！

studysea

我觉得你这样推导是有问题的,首先我看不出(1)式的对和错,另外:(2)式在(1)式成立的条件下推出的,如果速度V不是等速的呢?

建议参照 朱照宣编<<理论力学>>

studysea

应该说,刚体在做微小转动情况下, A,B两点位移关系公式: rOB = rOA+ theta* rAB 是成立的,分解出

Zb = Za - x*beta + y*gamma    (theta 在OXYZ上的投影为 alpha,beta,gamma)

跟你所述情况有所不同,本人水平有限,请指正.

micjor

　　关键的问题是(1)式是否正确，你可以这样想，O点的六个自由度中，只有垂向运动，绕X轴动和绕Y轴转动，会影响到A点的垂向速度，这个对吧。根据速度叠加，便构成了(1)式的三个项，我想这个叠加是没问题的。至于非匀速，没有问题啊。任何一个时刻(1)式肯定满足，如果非匀速，只不过加速度不同而已，不影响这个速度关系式。
　　如此，(2)式可以推导。但为什么只能小位移呢，因为如果大位移的话，cos(角ACD)和cos(角ABD)会发生较大变化，便不能看做常数对待，于是(2)式也不能成立了，但如果小位移，则认为近似成立。

　　至于你说的公式 rOB = rOA+ theta* rAB ，这是全局坐标系下的位移关系，而我这里关心的是局部振动位移，因此不一样。如果由这个往后推会限入死胡同，全局坐标和局部坐标的转换会害死人。而速度关系式推出来的位移表达式正好就是描述的两点的局部位移变化之间的关系，所以清晰简单，而又肯定不会错。

　　您再仔细看看。

studysea

我还是觉得你从速度推出位移的方法是有问题的,至少我觉得应该用积分,而不能直接乘于t

因为这里cos(ax),cos(ay)也是时间的变量t的变量,积分的话会变成sin(ax),sin(ay).不知楼主是否考虑.

micjor

你说的很对，由速度推位移是要积分的，所以上面公式不精确。
尽管cos(ax),cos(ay)也是时间的t的变量，但在小转角假设下，被认为是常量。
我另外通过位移关系式再推了一下，发现在小转角假设下，推出来的近似公式跟前面一样。

于是我较肯定的认为：在小转角假设下(必须满足)，以上公式成立。而幸好我研究的问题充分满足。

非常谢谢studysea给我的提醒，让我不至于出错，帮了我个大忙。

studysea

不知楼主能否把详细的推导过程写写,可以互相学习.